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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658レス)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
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181: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:07:24.95 ID:miqaDy4s >>180 つづき 証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) 次に, 天下り的だが, N,M >= 1 に対して BN,M :={x ∈ R | ∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M) |f(z) − f(y)| <= N(z − y)] } と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このと き, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確か にBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R−Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) と なる. すなわち, R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2) となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには, ∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M ) |f(z) − f(y)| <= N(z − y)] を示せばよい. さて, x − 1/M < y < x < z < x +1/M が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ xi − 1/M < y < xi < z < xi +1/M つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/181
182: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:07:51.43 ID:miqaDy4s >>181 つづき が成り立つ. そのようなi を何でもいいから1 つ取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義か ら|f(z) − f(y)| <= N(z − y) が成り立つ. よって, 確かに ∀y, z ∈ R[x − 1/M< y < x < z < x +1/M) |f(z) − f(y)| <= N(z − y)] が言えた. よって, x ∈ BN,M である. よって, BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無 限個の閉集合の和ということになるので, 系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もし くは, あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b) ⊆ BN,M なる開 区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す. x, y ∈ (a, b) を任意に取る. |f(y) − f(x)| <= N|y − x| が成り立つことを示す. 対称性から, x <= y としてよい. よって, 示すべ きは|f(y) − f(x)| <= N(y − x) である. もしx = y ならば, 明らかに成り立つ. 以下では, x < y と してよい. M(y −x)/2 < L を満たす正整数L を何でもいいから1 つ取る. [x, y] をL 等分に分割し て, 等分点をx からy に向かってx = z0 < z1 < < zL = y とする. より詳しくは, zi= x +(y − x)i/L (0 <= i <= L) である. 各i ∈ [0,L − 1] に対してci = (zi + zi+1)/2 と置くと, 各i ∈ [0,L − 1] に対して ci − 1/M < zi < ci < zi+1 < ci +1/M ・・・(3) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/182
259: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 08:20:11.67 ID:KgoytC9i >>255 "実力が伴って無い"は、全く正しい(^^ が、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」(>>145)とその証明不成立を主張したのは 私スレ主と、前スレで 401 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2] どっちもどっち ID:KNjgsEZnはただの基地外 (引用終り) と言った人の二人だけ (>>180-183)の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、 Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった この場合はそうじゃない。 補集合 R−Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない(言われて見れば当たり前) 他の理論の被覆と混同したんだろう 集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う(>>212) ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ >色々なトピックに手をだすのはあまり良くない ここは、”雑談スレ”という定義だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/259
288: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/09(火) 07:12:23.59 ID:Xw3gWI4S >>278 どうも。スレ主です。 レスありがとう >Xはある空でない集合として固定されてなければならないはず うーんと、下記で ・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った ・定理1.7で、”もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X=R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる ・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている ・なので、この証明中では、”X=R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。 (引用) (>>178) 定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, ・ 各Fiは内点を持たない, ・ S ⊆∪i Fi が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書 くことにする. (>>180) 定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である. (>>181) 証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/288
530: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/15(月) 19:37:52.81 ID:xsWEHCro >>529 追加 元PDFを見て貰った方が話は早い https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明(>>145より) で、(元PDFを見ている前提で) (>>525より)「BfがB_N,Mで被覆されますので あるB_N,Mの中に開区間が存在し その区間内でリプシッツ連続になります」 と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、 被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ また、定理1.7も 「・・・、 f は”B_N,Mの中の”ある開区間の上でリプシッツ連続である.」とでも書くべきでしょう (”B_N,Mの中の”→”∪N ,M>=1BN,M の中の”と「∪N ,M>=1BN,M 」を使うべきかもしれませんが (>>181より ”Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つ”ってことですからね )) だから、定理1.7は、”Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在”を主張しているってことですね ところが、仰るように(>>525)「あるB_N,Mの中に開区間が存在しその区間内でリプシッツ連続になります」ということしか証明していないと読みました なので、定理の主張と証明とが、不一致と思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/530
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