[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/

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179: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:05:36.46 ID:miqaDy4s >>178 つづき 証明 仮定により, lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N を満たす正整数N が取れる. lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜ に注意して, inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N ということになるので, あるδ > 0 に対して sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき, ∀y ∈ R [ ｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] ・・・(1) が成り立つことを示す. ｜y − x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか に｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって, 0 < ｜y − x｜ < 1/M < δ となるので, δの定義から, ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N となる. 特に, ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで, 題意を示す. y, z ∈ R であって x − 1/M < y < x < z < x +1/M を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により ｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y) が成り立つ(絶対値が外れてN(z − y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成 り立つ. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/179

180: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:06:03.45 ID:miqaDy4s >>179 つづき 補題1.6 x ∈ R とxi ∈ R (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, 次が成り立つ. ・ ∀y > x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y > xi ] . ・ ∀y < x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y < xi ] . 証明は単なる"-δ論法なので省略する. 定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/180

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