[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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42(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/28(木)23:46:02.50 ID:IsA0R4yK(7/8) AAS
>>41 つづき
ああ、いま改めて読むと
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより
”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな？
”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・
これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・
”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・（＾＾
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・
a) f is continuous and discontinuous are each dense in R.
↓
b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
a)Eは、co-meager
↓
b)Eは、meager
には出来ない？ それとも出来るの？
定理1.7成立なら、「 meager には出来ない」？
これ、やっぱり元論文読まないと、イメージ湧かないな〜（＾＾
まあ、ゆっくりやろうや
92: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)23:33:24.50 ID:dCRrvhl7(24/27) AAS
Liouville Numbers について、調べていたら、下記ヒット
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.mathematik.uni-wuerzburg.de
On Liouville Numbers - Yet Another Application of Functional Analysis To Number Theory Vortrag auf der ELAZ 2014 in Hildesheim: Jorn Steuding
(抜粋)
P21/42
Category vs. Measure
The set
L = (R ＼ Q) ∩ n>=1 (∪q>=2 ∪p (p/q -1/q^n ,p/q+1/q^n ))
of Liouville numbers is
・ big in the sense of category
(residual, dense Gδ),
・ small in the sense of measure
(Lebesgue measure zero, Hausdorff measure zero).
For the set of normal numbers it is the other way around.
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ:www.mathematik.uni-wuerzburg.de
Prof. Dr. Jorn Steuding Universitat Wurzburg Institut fur Mathematik
375(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)07:35:26.50 ID:dLTvfhGd(2/18) AAS
>>367 追加コメント
さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = F(x) if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
また、他の条件は、すべて上記に同じ
ある無理数点zとその近くの有理点x = p/q (q< m)に対して
（f(z) - f(x) ）/(z - x) = (F(z)- F(p/q)- 1/w(q))/(z - p/q ) となる
”F(z)- F(p/q)”の部分は、解析函数なので、p/q→zのとき、”F(z)- F(p/q)”→0 になるので、この場合は、上記のF(x) ≡0 の議論と変わらずそのまま成り立つ
よって、このような、有理数 x = p/q ∈Q の場合のみ、”= F(x)+ 1/w(q)”と定めるような、いわゆる除去可能不連続関数とする場合の議論は、
F(x) ≡0 の議論で尽くされている
つづく
474(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:37:48.50 ID:fNVDpqMq(8/38) AAS
>>473 つづき
コーシー列が収束する時、完備性を持つのだそうだ。ではコーシー列とは何かと言えば、集合から好きな要素を取り出して並べた時に、あるところより先の要素を見ると必ず、それらの要素間の距離がどんな狭い範囲にでも収まってしまう、そんなところが必ずある、という並びのことらしい。
ああ！数学ってのは七面倒くさい！！！とにかく、どこまでも狭い範囲に収まって行くような並びのことだ。
それで、狭い範囲に収まって行くのなら収束していると言えるのではないか、というと、そういう意味ではない。
数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。
こんなもんなんだよ
なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り)
以上
543(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/16(火)09:58:33.50 ID:P1O+7+Vj(2/4) AAS
>>539
これを踏まえて
（>>529より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、”f : R → R ”の定義域は、当然R
R−Bfは、Bfの補集合だから、”={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”であってはいけない
即ち
R−Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝ +∞ }であるべき
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”の、「リプシッツ連続なるある開区間」が存在しうるとすれば、Bf内にしかありえない
（∵R−Bfは、リプシッツ連続を満たさない集合であることは明白だから）
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