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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
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143: １３２人目の素数さん [sage] 2018/01/04(木) 09:11:59.45 ID:h0lPBL80 ぶっちゃけ、 >無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能 という流れの証明にあたり、リウビル数にこだわっても、 その数論的な性質は全く用いていないから、それにこだわる意味は何もない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/143
167: １３２人目の素数さん [] 2018/01/04(木) 12:29:55.45 ID:UP3dM11A 教科書を勉強して「ここはこう思うがどうか？」とか「この問題が解けないので教えて欲しい」 とかなら意味がある。だが全く教科書を読んでもいないお前がコピペと数学談義しても何の意味も無い。 いつになったらそれに気付くのか？4年間も進歩ゼロなんだからそろそろ気付け。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/167
180: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:06:03.45 ID:miqaDy4s >>179 つづき 補題1.6 x ∈ R とxi ∈ R (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, 次が成り立つ. ・ ∀y > x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y > xi ] . ・ ∀y < x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y < xi ] . 証明は単なる"-δ論法なので省略する. 定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/180
186: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:10:46.45 ID:miqaDy4s >>185 つづき が成り立つようなy, z ∈ R に対して ｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y) (＊) という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる ので, BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] } と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計 算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である. 補題(straddle lemma) f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ. ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R [ x − δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) − f(y) − f’(x)(z − y)｜ <= ε(z − y) ] . この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」 からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない. 結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる. QED 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/186
204: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/06(土) 15:05:21.45 ID:sJCr7ecA >>202 補足 おれがいまいち、定理1.7の証明で理解できないのは （引用） ”仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai⊆Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆ ∪iAiが成り立つ・・・ (1)” ”Bf ⊆ ∪_N,M>=1 BN,M が成り立つ” ”BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので, 系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは, あるN,M >= 1 に対して BN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b)⊆BN,M なる開 区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す.” (引用終り) で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分 開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？ で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より） で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、 ”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ（＾＾ 被覆する方の集合のBN,Mは、もともと内点を持つ閉集合。それは、ベールのカテゴリ定理からすぐ出る だが、それと、被覆される側の集合の性質とは無関係 但し、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の場合に限っては S側も、「内点を持たない閉集合の高々可算和」でなければならないという強い縛りができる が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、 被覆されるS側は、なんの制約も受けないように思えてきたが（第一可算的空間などから（>>122））・・、どう？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/204
506: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/14(日) 19:37:32.45 ID:fNVDpqMq >>505 補足 >相互法則と密度定理／リチャード・テイラー テイラー先生が寄稿していたのか？（＾＾ >高校生のための数学セミナー／砂田利一 おっちゃんの言う通りやな、高校生も数セミよめと、砂田利一先生・・（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/506
565: １３２人目の素数さん [sage] 2018/01/18(木) 10:55:12.45 ID:SyERiWTG スレ主はボケで>>550のようなことを書いたのか本当にコピペ出来なかったのかが分からないが、 代わりにリトルウッドの予想のサイトをコピペする。 https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture まあ、wikiの References や Further reading には基本的なテキストが挙げられていないようですな。 あと、>>549の一番下の行の「といかいう」の部分は「とかいう」に訂正。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/565
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