現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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403: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/11(木) 20:15:20.19 ID:dLTvfhGd

>>402 つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function
Harmonic function

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
調和関数
(抜粋)
数学における調和関数（ちょうわかんすう、英: harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。

調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。

20世紀には、ウィリアム・ホッジ（英語版）、ジョルジュ・ド・ラーム（英語版）、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。

性質

複素関数と2次元調和関数

複素数 z = x + iy (x, y ∈ R) を変数とする複素 1 変数複素関数 f?(z) について、これを実 2 変数の関数として書き直すことができる。
実 2 変数複素関数 w(x, y) = f(z) を、実部と虚部に分解すると w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) (u, v ∈ R), 実部と虚部に対応する実 2 変数の実関数として u(x, y) と v(x, y) が得られる。このとき、w が複素微分可能であれば u(x, y), v(x, y) は実 2 変数の調和関数となる。 コーシー・リーマンの関係式より、2 つの関数 u(x, y), v(x, y) は

（略）

を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad u(x, y) = (∂y, −∂x)Tv(x, y) となり、この湧き出し div?grad u(x, y) = Δ u(x, y) はゼロなので、関数 u(x, y) は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた v(x, y) も調和関数であることが導かれる。すなわち、正則な複素関数の実部と虚部は実調和関数となる。

逆に、2 つの実調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役であるといい、共役な実調和関数の対u(x, y), v(x, y) が与えられると、z = x + iy を変数とする正則関数f(z) = u(x, y) + iv(x, y) が得られる。単連結領域上の実調和関数は共役調和関数を持つ（すなわち正則関数の実部あるいは虚部である）。

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/403

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