[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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367(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/10(水)21:47 ID:xixJS48Q(7/11) AAS
>>366 つづき
さて、上記と、「定理1.7 (422 に書いた定理)」との間をつなぐために、上記のThe modefied ruler functionのさらなる変形を考えてみた
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
また、他の条件は、すべて上記に同じ
まあ、要するに、分母q がある値ｍ以下の場合のみ、1/w(q)とする。分母q がある値ｍ超えの場合は、値を０に取る
そうすると、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が成り立ち
”R−Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
（細かい証明は略す）
つづく
368(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/10(水)21:52 ID:xixJS48Q(8/11) AAS
>>367 つづき
ところで、ここの多くの読者が想定内だろうが、ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
この場合、いままで述べたことと同じだが、x = p/q ∈Q は、Q全体になり、
それ（Q）は”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”が、上記の数学論文などの通り、”Qで不連続、リュービル数で微分不可（リプシッツ連続でもない）”が結論になる！
で、（定理1.7 の結論のような）” f はある開区間（a, b）の上でリプシッツ連続である”とは、できない
（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。そういう意味で、ｍ→∞に対しては、可能無限と実無限という言葉が、現実味を帯びるかもしれない。時枝の可算無限個の箱と似ているような気がする・・（＾＾ ）
以上
369(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/10(水)22:59 ID:xixJS48Q(9/11) AAS
>>368 訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊）
370(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/10(水)23:01 ID:xixJS48Q(10/11) AAS
>>368 補足
>（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。
ここ、いま考えると>>367で
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
↓
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
とする方が、ｍ→∞のとき、”f(x) = 1/w(q) if q< ∞ ”となるので、形式的には綺麗かも
が、実質は”p/qは任意のQの元まで拡大される”は同じなので、単に形式美だけだが・・
371(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/10(水)23:05 ID:xixJS48Q(11/11) AAS
>>342 補足
>（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
ここらは、細かいけど、大学の先生の書いたテキスト（教科書）では、きちんと（位相空間について）明示されていることが殆どだね（＾＾
なので、試験（院試）などを考えて、きちんと書くクセを付けた方が良いだろうね
試験の採点では、重要な試験ほど、採点が厳格かつ客観的になり、好意に斟酌してもらえる余地が減るから
（きちんと書いてないと減点対象かも。専門の論文では、スペース（字数制限）の関係で”分るだろう・・”と流している場合も無くはないが）
372: 2018/01/10(水)23:38 ID:N+Cjs8Xm(6/6) AAS
>>365
煽りだけは一人前だね
不成立の根拠を示すことすらできないのに
そんなに自信が無いの？
373(1): 2018/01/11(木)01:34 ID:eQoxU2RG(1/6) AAS
>>364
＞私ら、不勉強の、単なるアホバカですからね
それは時枝不成立論の敗北宣言と受け取ってよろしいか？
だってそうだろ？不勉強のアホバカに正しい判断ができようはずないではないか
374(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)06:52 ID:dLTvfhGd(1/18) AAS
>>373
ぷ
375(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)07:35 ID:dLTvfhGd(2/18) AAS
>>367 追加コメント
さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = F(x) if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
また、他の条件は、すべて上記に同じ
ある無理数点zとその近くの有理点x = p/q (q< m)に対して
（f(z) - f(x) ）/(z - x) = (F(z)- F(p/q)- 1/w(q))/(z - p/q ) となる
”F(z)- F(p/q)”の部分は、解析函数なので、p/q→zのとき、”F(z)- F(p/q)”→0 になるので、この場合は、上記のF(x) ≡0 の議論と変わらずそのまま成り立つ
よって、このような、有理数 x = p/q ∈Q の場合のみ、”= F(x)+ 1/w(q)”と定めるような、いわゆる除去可能不連続関数とする場合の議論は、
F(x) ≡0 の議論で尽くされている
つづく
376(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)07:38 ID:dLTvfhGd(3/18) AAS
>>375 つづき
さらに
1/w(q)→1/q^ν としてみよう
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする
この場合も、mが有限の値の場合、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合も、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が常に成り立ち
”R−Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
しかし、ｍ→∞を考えると、f(x) = 1/q^νの場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される
この場合
１）ν= 0の場合、いわゆるディリクレ関数になり、f(x)は至る所不連続
２）ν= 1の場合、いわゆるトマエ関数になり、f(x)は無理数で連続、有理数で不連続となる
３）ν>= 2の場合、f(x)は無理数の多くで微分可能（微分不可能な無理数点も残る）、有理数で不連続
となる
なにが言いたいかというと、
f(x)の無理数側の決めは不変だが、有理数側の決めが変わることによって、f(x)全体の特性（連続、不連続、微分可否など）が全く変わってしまうということ
これで、「定理1.7 (422 に書いた定理)」の不備が見えるだろう
「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明は、無理数側（定理ではBf側）の関数しか扱っていない。
それで証明が完了としている。が、それは上記数理に反するってことだ
以上
377(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)07:43 ID:dLTvfhGd(4/18) AAS
>>369 訂正の訂正
>>368の訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずf(x) = 1/w(q) の場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される ＊）
かな？（＾＾ （>>376を書いていて気付いたよ）
378: 2018/01/11(木)08:21 ID:eQoxU2RG(2/6) AAS
>>374
敗北宣言と受け取りました
379(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)08:40 ID:dLTvfhGd(5/18) AAS
逝ってよし（＾＾
380(1): 2018/01/11(木)09:32 ID:pCvZqe21(1/9) AAS
おっちゃんです。
スレ主が導こうとしている結論は元からどのようにしても導けない
(定理 1.7 の反例を挙げてそれを否定することは出来ない)
から、幾らやってもムダ。
381(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)09:43 ID:clSPRjXH(1/11) AAS
どうもスレ主です。
いつものおっちゃんらしいね（＾＾
382: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)09:57 ID:clSPRjXH(2/11) AAS
>>380
話は逆で
（>>376に書いた通りだが）
（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
で、
１）補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の可算”有限”和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は、正しい
しかし
２）補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の”稠密”分散可算無限和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続とはできない．”が、正しい
補足
１）補集合R−Bfが主に有理数Qで、Bfが主に無理数（ R＼Q）を想定したもの
２）有理数Qが稠密である以上、無理数のみからなる開区間（a, b）など取れるはずもない
中学校レベルの話だろう
383(1): 2018/01/11(木)10:14 ID:pCvZqe21(2/9) AAS
>>375
>さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
>
>The modefied ruler function f is defined by
>f(x) = F(x) if x is irrational,
>f(0) = 1, and
>(さらに有理数で場合けして)
>f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
>f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
>where p and q are relatively prime integers with q > 0.
>
>ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、
>無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
>>367の補足としてmを或る値として続けて書いているようだが、
解析関数 F(x) の定義域は複素平面Cの弧状連結で開円盤を含む開集合だから、
虚部が0ではない何らかの複素数xに対しても F(x) は定義されることになる。
だが、f(x)＝F(x) としているのに、そのような複素数に対する F(x) の複素数値の定義がどこにもなされていないので、
その定義は意味をなさない。結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
384(1): 2018/01/11(木)10:33 ID:pCvZqe21(3/9) AAS
>>381
トマエ関数や modefied ruler function は有理数か無理数かが分かってからその関数値が決まるような関数。
で、有理数全体Qは直線Rの部分空間としてのルベーグ測度が0の可測空間で、無理数の全体 R＼Q はその補集合になる上、
有理数に対して決まるそれらの関数値の決まり方は定義域Rの点としての既約分数 p/q の分母qや分子pの値にもよるから、
そういった関数を持ち出して有理数か無理数かを基準にして考えても何の意味もない。
385(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)10:54 ID:clSPRjXH(3/11) AAS
>>383
>結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
無問題。
実関数 f(x) を直線R上で定義し、それが解析関数なら、解析接続でき、一致の定理が適用でき、リーマン球面上の解析関数として一意である
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
解析接続
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
一致の定理
(抜粋)
一致の定理(いっちのていり、英: Identity theorem)は、複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。
(引用終わり)
386(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)10:58 ID:clSPRjXH(4/11) AAS
>>384
支離滅裂かつ意味不明
また、そんな考えじゃ、論文を読むこともできまい？
現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとうな数学としての研究対象である
返答として、それだけ言えば十分だろう
387(1): 2018/01/11(木)11:31 ID:pCvZqe21(4/9) AAS
>>385
複素解析が分からないってことだな。
388(1): 2018/01/11(木)11:36 ID:pCvZqe21(5/9) AAS
>>386
>現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとうな数学としての研究対象である
>返答として、それだけ言えば十分だろう
元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
返答は、これで十分だろう。
389: 2018/01/11(木)12:12 ID:W/l1qArm(1) AAS
ぬーん
390(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)13:56 ID:clSPRjXH(5/11) AAS
>>387
もともとは、病的な関数を考えているので（下記）、複素解析の外
だが、解析関数を使って、”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせただけなんだよ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
病的な (数学)
(抜粋)
病的な関数
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが至る所微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。
実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。
平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。
大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。
病的な例
・ワイエルシュトラス関数: 至る所連続だが至る所微分不能な実関数の例。
・ディリクレ関数（有理数の集合 Q の指示関数）は、有界だがリーマン可積分でない。
・カントール関数は [0, 1] を [0, 1] の上へ写す単調連続関数だが、ほとんど至るところ微分係数は0である。
(引用終わり)
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
病的な関数の例は？ dolzarkさん yahoo 2012/6/7
(抜粋)
病的な関数の例は？
名前を知っているのはカントール関数、高木関数、ディリクレの関数、ワイエルシュトラス関数ぐらいですが、このうち前3つはどんな関数でどこが病的なのか理解できます。
でもワイエルシュトラス関数は何をやっているのか全然分かりません。分かりやすく説明できる代物なのかも分かりませんが、分かりやすく説明してくれませんか？
またこれ以外に病的とされる関数はありますか？
(引用終わり)
391(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)14:02 ID:clSPRjXH(6/11) AAS
>>388
>元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
(>>390に書いたが） ”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせるときに
解析関数という言葉で、膨らませた関数に剛性を持たせると同時に、微分可能性の縛りも入れた
それだけのことよ。病的な関数の対比として、解析関数がその対極でもあるしね
それだけのことで、定義域を複素数に拡大する話では、元々ないよ（＾＾
392: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)14:04 ID:clSPRjXH(7/11) AAS
>>390 補足
こんなスレがある（＾＾
キチガイ関数一覧表できたよー(R→R編)
2chｽﾚ:math
393(2): 2018/01/11(木)16:15 ID:pCvZqe21(6/9) AAS
>>391
剛性という言葉は図形は形を変えないというニュアンスのれっきとした数学用語として用いられている、
関数のグラフは図形であるけど、関数自体は図形ではないべ。
剛性という言葉の使い方に注意した方がいい。
まあ、何れにしろ、定理 1.7 を否定することは、
ブルバキが書いた数学原論の中の少なくとも測度(積分)や位相の巻の内容を否定することにつながるし、
その測度や位相の巻はよく出来ている内容の巻らしいから、
スレ主が大好きな権威主義という観点から見てもムリ。
394: 2018/01/11(木)16:22 ID:pCvZqe21(7/9) AAS
>>391
ブルバキのことは以前>>6の知恵袋の数学の学習法とかいうサイトに書かれていたが、何故か消えていた。
395: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)16:37 ID:clSPRjXH(8/11) AAS
病的関数で検索すると、下記がなぜかヒット。貼っておく。なお、文字化けご容赦（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
「やさしい」ゼータ関数について 伊吹山 知義, 齋藤 裕 数学 / 50 巻 (1998) 1 号
(抜粋)
この論説の目的は種々のゼータ関数の中には,易しい表示を持つものが通常信じられているより
もずっと多いことを解説することにある。すなわち概均質ベクトル空間のゼータ関数や保型形式の
ゼータ関数の中には,定義のみではその易しさがわからないが,算術的知識を総動員して計算する
と既知の関数になるものが思いがけず多いと言うことを説明したい。前半では数学的な正確さより
も流れに重点を置いて書く.
1) 2種類のゼータ関数
ちょっと冗談めくが,ゼータ関数には2種類あると思うようになった.1つは「やさしいゼータ
関数」もう1つは「むつかしいゼータ関数」である.とくにこれらの定義を正確に与えようという
わけではないが,その気持ちは徐々に説明していきたい.
数列{an}と複素数sに対し,Σ 一1α。η}8なる級数をDirichlet級数という。{an}のとりかたに
よってはこの級数はかなり良い性質をもつ.たとえばζ(S)= n一､n-Sとおくと次がなりたっ.
(1) ζ(S)はRe(S)>1で絶対収束しsさらに全S平面に有理型に解析接続される。
(2) ζ(S)は関数等式を持つ.すなわちξ(S)=π}8/2F(S/2)ζ(S)とおくとξ(1-S)=ξ(s)をみ
たす。
(3) ζ(S)はEuler積をもつ.すなわちζ(S)=llp(1-p-8)一1(pは素数をわたる。)
このζ(S)をRiemannのゼータ関数という.ζ(S)をモデルとして,上の(1),(2),(3)ないしは
その一部をみたすようなDirichlet級数が数多く考えられてきた。それらは適当な形容詞つきで,
ゼータ関数ないしはL関数の名称で呼ばれる.ここで{an}は当然何らかの算術的に意味のある良
い定義がなされているわけであるが,これは別にan自身が非常に具体的な公式によって記述でき
るということを意味するわけではない.とりあえずanのやさしい具体的な公式があるときに,漠
然と「やさしいゼータ関数」と呼ぶことにしよう。この観点から言えば,Riemannのゼータ関数は
やさしいゼータの典型である.
(引用終わり)
396(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木)17:05 ID:clSPRjXH(9/11) AAS
>>393
>剛性という言葉は図形は形を変えないというニュアンスのれっきとした数学用語として用いられている、
いま、数学 剛性 で検索すると、冒頭に下記がヒットするよ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モストウの剛性定理
(抜粋)
数学において、モストウの剛性定理(Mostow's rigidity theorem)、あるいは強剛性定理(strong rigidity theorem)、モストウ・パラサードの剛性定理(Mostow?Prasad rigidity theorem)は、
次元が 3 以上の有限体積の双曲多様体は、その基本群により決定され、従って一意となるという定理である。
定理は閉多様体に対して Mostow (1968) で証明され、3次元の有限体積の双曲多様体に対しては Marden (1974) で、少くとも次元が 3 以上である多様体に対しては Prasad (1973) で拡張された。Gromov (1981) は、グロモフノルム（英語版）(Gromov norm)を使い、別な証明を与えた。
Weil (1960, 1962) は、密接に関連する定理を証明した。特に、この定理は少くとも次元 3以上の双曲空間のアイソトピック群の余コンパクト離散群は、非自明な変形を持たないことを意味する。
モストウの剛性定理は ( n > 2 に対し) 有限体積を持つ双曲 n-次元多様体の変形空間が、一点であることを示している。
また、種数が g > 1 である双曲曲面に対して、次元 6g ? 6 のモジュライ空間が存在し、（微分同相を同一視した）定曲率な計量をパラメトライズする。
（このことはタイヒミューラー理論（英語版）(Teichmuller theory)において重要な事実である。）
3次元では、双曲デーン手術（英語版）(hyperbolic Dehn surgery)定理と呼ばれるウィリアム・サーストンの「非剛性」定理が存在する。
この定理は、同相写像の型が許される限りの有限体積の多様体上の双曲構造を変形することから帰結する。加えて、「無限」体積の多様体上の双曲構造の変形空間の豊かな理論も存在する。
(引用終わり)
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