[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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423(2): 2017/11/20(月)18:28 ID:Brtx3QWc(3/5) AAS
>>421-422
あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば
f(0)＝f(1)＝1、
任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、
超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a
というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、
x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|＝1 となって間違いなのか。
3以上の任意の正整数nに対して
|( f(x)−f(b) )/(x−b)|＝|(a−p/q)|/|(a−p/q)|＜1/(q^n|a−p/q|)
を満たす既約分数 b＝p/q∈(0,1) は可算無限個あって
分母の正整数 q＞p も当然可算無限個あるから、直観的に条件を満たしているかと思っていたんだけど、
実際は可算無限個の既約分数 p/q∈(0,1) に対して q^n|a−p/q|＜1 なのか。
だけど正整数 n≧3 を任意に取って a→+∞ としても、q^n|1−p/(aq)|＜1/a を満たす
既約有理数数 b＝p/q∈(0,1) が可算無限個あるというのが何か直観に反するな。
1
426: 2017/11/20(月)18:53 ID:sVbA75bK(3/4) AAS
>>423
＞任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、
＞超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a
それだと任意の点で不連続だろ。
・ xが有理数のときは f(x)＝x
・ xが無理数のときは f(x)＝a
と定義しているのと同じことだから、y＝x, y＝a という2本の直線が
x の値に応じて交互に出現しているようなグラフになる。
どんな間違い方をしているのかと思えば、レベルが低すぎて唖然とするわ。
・ f(p/q)＝1/q
・ xが無理数のときは f(x)＝0
という、出発点となる例よりも大幅に劣化してるじゃん。
432(2): 2017/11/21(火)04:49 ID:cl7UYlaS(4/20) AAS
あっ、a＞0 のときは>>423に計算間違いはなかったか。
a＜0 のときが計算間違いか。
まあ、昨日考えていたあの問題は考え直しだ。
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