[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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153(8): 2017/11/14(火)16:10 ID:jtNc+3xe(1/3) AAS
>>151
>解答出てないよｗ
勿論、分かっているさ〜（＾＾
ところで、>>83＆>>146は、良いヒントだね（＾＾
確かに面白い。>>147に同意。
”有理数ｒが既約分数p/qで表されるとき、1/q^2”（>>146より）で、1/q^4くらいでどうかな？
というのは、下記英文 Thomae's functionで、”f is not differentiable at all irrational numbers.”が参考になる
Hurwitz's theoremから、（Thomae's function通り）1/qだと、”>＝1/√5 *i”という評価になる
で、1/q^nの指数nを大きくするというのは、ハイラー、ヴァンナーがヒントになる
だが、1/q^2では足りないだろう
1/q^3でもいいかも知れない
なお、下記証明は、not differentiableを下からの評価で、”>＝1/√5 *i ≠ 0”としているが
指数nを大きくして、上からの評価で抑え込んで、＝0を示す必要があるが、これまだ考えていないが、なんとかなりそうだろ？（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
トマエ関数
↓
（英語版）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Thomae's function
(抜粋)
f is not differentiable at all irrational numbers.
・
According to Hurwitz's theorem,
・
Thus for all i,・・・>＝1/√5 *i ≠ 0 and so f is not differentiable at all irrational x_0.
(引用終わり)
154: 2017/11/14(火)16:11 ID:jtNc+3xe(2/3) AAS
>>153 関連
＜追記＞
なお、上記のThomae's function引用の下記のＵＲＬが、ＩＤ登録を要求してくるので、フリーなサイトを探しておいた（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:math.uga.edu
Kim, Sung Soo. "A Characterization of the Set of Points of Continuity of a Real Function." American Mathematical Monthly 106.3 (1999): 258-259.
159(4): 2017/11/14(火)19:35 ID:IDi6PSmH(4/4) AAS
>>153
>>解答出てないよｗ
>勿論、分かっているさ〜（＾＾
どうだかなあ
>1/q^4くらいでどうかな？
どうかな？じゃなくて証明しろよ
>1/q^3でもいいかも知れない
かも知れない？じゃなくて証明しろよ
>Hurwitz's theorem
微分不能性ならそれでもいいが、
微分可能性なら不等号の向きを
逆にしないとダメだぞ
ついでにいうと1/q^2だと無理数のところで微分不能というのは
以下のDirichletのDiophantus近似定理から導かれる
”任意の無理数βに対し、
0<|β-p/q｜<1/q^2を満たす
無限に多くの有理数p/qが存在する”
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
166(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/14(火)20:51 ID:agSxZaXK(12/15) AAS
>>164-165
冗談半分、本気半分
まあ、おれの主義は、「原則として、5CH（含む2CH）バカ板では証明は読まない書かない」ってことだ
まあ、略証くらいは考えみるかなー（＾＾
>微分可能性なら不等号の向きを
>逆にしないとダメだぞ
そうそう、そこ同意だ
（>>153に書いた通り”下記証明は、not differentiableを下からの評価で、”>＝1/√5 *i ≠ 0”としているが
指数nを大きくして、上からの評価で抑え込んで、＝0を示す必要があるが、これまだ考えていないが、なんとかなりそうだろ？”）
>ついでにいうと1/q^2だと無理数のところで微分不能というのは
>以下のDirichletのDiophantus近似定理から導かれる
ヒントありがとう
そのうちな
気長に待ってくれ（＾＾
168(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/14(火)21:22 ID:agSxZaXK(13/15) AAS
>>159
ありゃりゃ？？
”ついでにいうと1/q^2だと無理数のところで微分不能というのは
以下のDirichletのDiophantus近似定理から導かれる
”任意の無理数βに対し、
0<|β-p/q｜<1/q^2を満たす
無限に多くの有理数p/qが存在する””
それ、>>153引用の”Hurwitz's theorem”（下記）と同じだよ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フルヴィッツの定理 (数論)
(抜粋)
数論において，フルヴィッツの定理（英: Hurwitz's theorem）とは，アドルフ・フルヴィッツ (Adolf Hurwitz) の名に因んだ定理で，ディオファントス近似の上界を与える．
|ξ - m/n |< 1/(√5n^2 )
となるものが無限個存在する．ξ が無理数であるという仮定を外すことは出来ない．さらに，定数 √5 は最良のものである．
(引用終り)
174(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/15(水)08:25 ID:dypommzJ(2/9) AAS
>>171
ピエロ、ありがとう
たまらずPDFアップかな（＾＾
まあ、数学的には、論文にするには、その程度必要だわな
要は、1/q^v でvの臨界指数で類別する。それはおれも考えていた
>>153に書いたように、1/q^nの指数n で、”1/q^3でもいいかも知れない”と書いたが、数学的にはどこか臨界指数があるだろうと
ただ、最初の問題なら、単に指数nを大きくするだけで足りるから、証明はそれほど難しくない
>>173に書いたように、x0の収束列の存在から、|ki／i - x0| ＞ |ki+1／i+1 - x0| と、|ki／i - x0|に対して下からの評価が使えそうと思いついたところだった
まあ、証明を考える手間が省けたので助かったよ
問題を考え出したのは、昨日の昼頃からだから、実質１日弱かな（＾＾
>>83 ＆ >>146のヒントがなければ、無理だが、これだけヒントがあれば、あとは何とかなるよ（＾＾
397(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/19(日)20:44 ID:W1ZiI7BV(30/34) AAS
>>393-394
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>伊藤清「確率論」（岩波基礎数学選書)
>は、離散的な確率変数を持つ標本空間の事象を扱うことから始まって、
>途中から測度論を丁寧に導入している。サイコの事象は最初の方に出て来るね。
情報ありがとう！（＾＾
>区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、x無理数のとき微分可能
>となるような[0,1] で定義された関数を f(x) を挙げる問題がスレ主は解けなかったか。
関数を f(x) を挙げるだけなら、出来た（>>153の通り）
が、証明はできなかったね（＾＾
ピエロのアップしたＰＤＦ（下記）に証明があるが、下記無理数を(a)連分数展開可能な無理数の点と、(b)そうでない無理数で微分出来ない点に分け、
(a)は微分可能で、”(a) and (b) are both of them un-countable.”だと。まあ、これは私の手では独力では証明できないと悟った
事実、筆者もP2 "Actually, a big part of this study has already
been done in the literature; see, for instance, [2, 3, 6, 7]. Here we present
some results that are already known (usually whith a dierent proof), and
some that seem to be new."とあって、何人ものプロ数学者の数十年の積み上げ成果だから、おれなんかがちょっと考えて解ける問題じゃないね
知識として、知っているか知らないかだ
なお、和文PDFかURLがないか探したが、見つからなかった（＾＾
なので、これは結構、日本では”ハナタカ”のような気がするね（＾＾
つづく
418(1): 2017/11/20(月)11:35 ID:Brtx3QWc(1/5) AAS
>>397-398
おっちゃんです。
>関数を f(x) を挙げるだけなら、出来た（>>153の通り）
>が、証明はできなかったね（＾＾
残念でした。私が考えていた f(x) は>>153の関数ではございません。最初に想定していた
>区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能
>となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題
つまり本を正せば、>>75の
>Q3. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ
というのは、
1)：実関数 f(x) は閉区間 I＝[0,1] を定義域とし、
2)：任意の点 x＝p/q∈Q∩I (p、qは互いに素) で f(p/q) は不連続で、
3)：任意の点 x∈(R＼Q)∩I で f(x) は微分可能である。
以上の1)、2)、3)の3条件を満たすような実関数 f(x) を挙げてε-δで示せ
というモノだったんだよ。>>75はそういう意味で出題されていたとも読み取れる。
条件2)や条件3)の「任意の」の部分を「或る」に変えたら
少なくともこの話よりは短く簡単になって、>>153で話は終了になる。
それに、>>153で話が済むなら、小平解析入門にも似たような話が書かれている。
11/14(火) の ID:jtNc+3xe は私ではない。スレ主の自演だろう。
419: 2017/11/20(月)11:54 ID:Brtx3QWc(2/5) AAS
>>397-398
まあ、>>418で私が書いた「>>153」は「>>146」とした方が適切だろうな。
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