[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/

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83: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 16:44:05.55 ID:tybpW7Vy Q1.　[0,1]上至るところで不連続な関数を１つ示せ A1.　ディリクレの関数 　　　有理数で1　無理数で0 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0 Q2.　[0,1]上の有理数で不連続、無理数で連続な関数を１つ示せ A2.　トマエの関数 　　　有理数ｒが既約分数p/qで表されるとき、1/q　無理数で0 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0 で、Q3の答えはまだ見つからないのかい？（ニヤリ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/83

85: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/11/12(日) 16:50:12.88 ID:cTg/FCp5 >>83 しらんな 「分からない問題はここに書いてね」を、まてば〜（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/85

91: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/11/12(日) 17:29:22.65 ID:cTg/FCp5 >>83 >Q3.　[0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ >これ大学数学の常識なんだけどな おっちゃん、出番だよ〜（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/91

153: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 16:10:42.76 ID:jtNc+3xe >>151 >解答出てないよｗ 勿論、分かっているさ〜（＾＾ ところで、>>83＆>>146は、良いヒントだね（＾＾ 確かに面白い。>>147に同意。 ”有理数ｒが既約分数p/qで表されるとき、1/q^2”（>>146より）で、1/q^4くらいでどうかな？ というのは、下記英文 Thomae's functionで、”f is not differentiable at all irrational numbers.”が参考になる Hurwitz's theoremから、（Thomae's function通り）1/qだと、”>＝1/√5 *i”という評価になる で、1/q^nの指数nを大きくするというのは、ハイラー、ヴァンナーがヒントになる だが、1/q^2では足りないだろう 1/q^3でもいいかも知れない なお、下記証明は、not differentiableを下からの評価で、”>＝1/√5 *i ≠ 0”としているが 指数nを大きくして、上からの評価で抑え込んで、＝0を示す必要があるが、これまだ考えていないが、なんとかなりそうだろ？（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0 トマエ関数 　↓ （英語版） https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function Thomae's function (抜粋) f is not differentiable at all irrational numbers. 　・ According to Hurwitz's theorem, 　・ Thus for all i,・・・>＝1/√5 *i ≠ 0 and so f is not differentiable at all irrational x_0. (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/153

169: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/11/14(火) 22:00:12.64 ID:agSxZaXK >>159 追加 ところで、おまえ、下記のThomae's functionの「f is not differentiable at all irrational numbers.」証明を読んでないみたいだから、引用しておくよ（＾＾ https:／／en.wikipedia.org／wiki／Thomae%27s_function Thomae's function (抜粋) f(x)= 有理数ｒが既約分数p／qで表されるとき、1／q　無理数で0 （注：>>83同様） f is not differentiable at all irrational numbers. All sequences of irrational numbers (ai≠ x0)_（i=1〜∞ ） converging to the irrational point x0 imply a constant sequence (f(ai)=0)_（i=1〜∞ ）, identical to 0, and so lim _（i→ ∞ ）｜ (f(ai)-f(x0)）／（ai-x0））｜=0. According to Hurwitz's theorem, there also exists a sequence of rational numbers (bi=ki／i)_（i=1〜∞ ）, converging to x0, with (ki∈ Z ,i∈ N )） (ki∈ Z ,i∈ N )） coprime and |ki／i-x0|＜ 1／（√ 5）* i^2）. Thus for all i,: ｜（f(bi)-f(x0)）／ （bi-x0）｜ ＞ （1／i - 0）／（1／(（√ 5）* i^2)））= √ 5* i ≠ 0 and so f is not differentiable at all irrational x0. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/169

174: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/11/15(水) 08:25:08.65 ID:dypommzJ >>171 ピエロ、ありがとう たまらずPDFアップかな（＾＾ まあ、数学的には、論文にするには、その程度必要だわな 要は、1/q^v でvの臨界指数で類別する。それはおれも考えていた >>153に書いたように、1/q^nの指数n で、”1/q^3でもいいかも知れない”と書いたが、数学的にはどこか臨界指数があるだろうと ただ、最初の問題なら、単に指数nを大きくするだけで足りるから、証明はそれほど難しくない >>173に書いたように、x0の収束列の存在から、|ki／i - x0| ＞ |ki+1／i+1 - x0| と、|ki／i - x0|に対して下からの評価が使えそうと思いついたところだった まあ、証明を考える手間が省けたので助かったよ 問題を考え出したのは、昨日の昼頃からだから、実質１日弱かな（＾＾ >>83 ＆ >>146のヒントがなければ、無理だが、これだけヒントがあれば、あとは何とかなるよ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/174

183: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/15(水) 19:58:40.15 ID:aDiqJIlZ >>174 ＞>>83 ＆ >>146のヒントがなければ、無理だが、これだけヒントがあれば、あとは何とかなるよ（＾＾ εδも理解せずにどこからその自信が出て来るのか謎 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/183

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