[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/

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530: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/24(金) 12:24:13.77 ID:oy9GryqM おっちゃんです。 え〜、>>430-431には間違いがあります。正しくは次のようになる。 超越数 a∈R について、aがリウビル数であるための必要十分は、 任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された 有理数 p/q が 1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n を満たすことである。 (証明)、[第１段]：a∈I をリウビル数とする。正整数nを任意に取る。 有理数直線Qの部分空間 J(n,a) を J(n,a)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^n } と定義する。 正整数の大小関係から、(p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q の分母qについて、 qに上限は存在せず下限 c＝inf_{ (p,q)＝1, p/q∈J(n,a) }(q) が存在する。故に、J(n,a) は可算無限集合である。 両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q を任意に取る。 すると、|a−p/q| は超越数で |a−p/q|＞0 だから、J(n,a) の定義に注意すると、 p/q に対して或る正整数 m(p/q) が存在して、1/( m(p/q)・q^n )＜|a−p/q|＜1/q^n。従って、m(p/q)≧2。 J(n,a) の既約分数 p/q は任意であるから、既約分数 p/q を J(n,a) 上で走らせれば、 両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された或る有理数 p/q∈J(n,a) が存在し、 p/q に対して或る2以上の整数 m(p/q) が定まって、m＝m(p/q) とおけば、 k≧m のとき、高々有限個の (p,k)＝1 なる正整数 p,k を用いて表された 有理数 p/k∈J(n,a) は 1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n を満たす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/530

32: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/11/12(日) 08:48:00.67 ID:cTg/FCp5 >>31 つづき 20 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/531-534 531 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:11:40.23 ID:f9oaWn8A [10/13] ああ，正しくはP(h(Y)≧h(Z))≧1/2か まあどちらにせよhが可測性が問題となることは間違いない 532 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13] >>530 >2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ 残念だけどこれが非自明． hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう 534 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/03(日) 23:24:18.32 ID:/kjhINs/ [14/15] >>532 >>530を読めば明らかだと思うが、俺は 『非可測集合R^N/~を"経由"してよいとする』 という仮定を貴方より拡大解釈している hは非可測であり、これが問題だというのは俺も同意。記事も同じ そこに目をつぶり、2個の自然数が与えられたとして確率を計算している つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/32

531: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/24(金) 12:27:01.13 ID:oy9GryqM (>>530の続き) 1)：q≧k のとき。このとき、1/(q^{n+1})＜|a−p/q|＜1/q^n となる。 2)：q＜k のとき。cの定義から、k＞q≧c≧2 であり、1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/c^n≦1/2^n、 従って、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p',q')＝1 なる正整数 p', q' を用いて表された 有理数 p'/q' が存在して、1/( (q')^{n+1} )＜|a−p'/q'|＜1/(q')^n となる。 1)、2)から、nに対して高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p_n, q_n)＝1 なる 正整数 p_n, q_n を用いて表された既約分数 p_n/q_n が定まって、各 (p_n, q_n) について p＝p_n, q＝q_n と略記することにすれば、高々有限個の J(n,a) の 有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となる。 正整数nは任意であるから、nを条件 n≧1 の下で走らせれば、任意の正整数nに対して、同様なことが成り立つ。 [第２段]：任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された 有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となるとする。このとき、任意の正整数nに対して 0＜|a−p/q|＜1/q^n なる J(n,a) の有理数 p/q が存在するから、超越数 a∈R はリウビル数である。 [第３段]：これで命題は示された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/531

532: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/24(金) 13:13:53.80 ID:oy9GryqM >>530の訂正：(証明の最初) a∈I → a∈R http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/532

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