[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/

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431: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 04:26:24.42 ID:cl7UYlaS (>>430の続き) 逆に、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n とする。 このとき、a∈I＝(0,1) が実代数的数とする。aの最小多項式の次数をnとする。 |a−p/q|≦1/q^{n+1}＜1/q^n なる既約有理数 p/q∈(0,1) (q＞p≧1) は高々有限個存在するから、 |a−p/q|≧1/q^n なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) は可算無限個存在する。 従って、|a−p/q|＜1/q^n≦|a−p/q| なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) が存在して矛盾する。 背理法が適用出来るから、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n なる実数 a∈I＝(0,1) は超越数となる。 故に J⊂I から、実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して 可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。 だけどこれ、知られているよな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/431

433: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 05:26:39.15 ID:X9h/AUBd >>430-431 もはや反応するのもバカらしいけど、お前は一体何の話をしてるんだ。 f の話をしろよ。お前がそこで書いてることは f と何の関係もないじゃん。 何で結論が ＞実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して ＞可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。 になってるんだよ。これでは「 実数 a 」に関する議論であって、 f の不連続性とか微分可能性とかの話になってないじゃん。 >>430にしても、一見すると f の話をしているように見えて、 実際には a の話になっていて、f の話を全くしていない。 しかも、お前が考えている f は [0,1]上のどの点でも微分不可能で、 f が連続になる点も高々1点しか存在しない。問題外。 スレ主が引っ張ってきた関数の方が遥かにマシ。 根本的には、そもそも件の f は「存在しない」のだから、これ以上考えても無駄ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/433

530: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/24(金) 12:24:13.77 ID:oy9GryqM おっちゃんです。 え〜、>>430-431には間違いがあります。正しくは次のようになる。 超越数 a∈R について、aがリウビル数であるための必要十分は、 任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された 有理数 p/q が 1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n を満たすことである。 (証明)、[第１段]：a∈I をリウビル数とする。正整数nを任意に取る。 有理数直線Qの部分空間 J(n,a) を J(n,a)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^n } と定義する。 正整数の大小関係から、(p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q の分母qについて、 qに上限は存在せず下限 c＝inf_{ (p,q)＝1, p/q∈J(n,a) }(q) が存在する。故に、J(n,a) は可算無限集合である。 両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q を任意に取る。 すると、|a−p/q| は超越数で |a−p/q|＞0 だから、J(n,a) の定義に注意すると、 p/q に対して或る正整数 m(p/q) が存在して、1/( m(p/q)・q^n )＜|a−p/q|＜1/q^n。従って、m(p/q)≧2。 J(n,a) の既約分数 p/q は任意であるから、既約分数 p/q を J(n,a) 上で走らせれば、 両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された或る有理数 p/q∈J(n,a) が存在し、 p/q に対して或る2以上の整数 m(p/q) が定まって、m＝m(p/q) とおけば、 k≧m のとき、高々有限個の (p,k)＝1 なる正整数 p,k を用いて表された 有理数 p/k∈J(n,a) は 1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n を満たす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/530

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