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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/
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421: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 14:27:38.04 ID:sVbA75bK >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題 このような関数は存在しないことが ttps://math.stackexchange.com/questions/2115/discontinuous-at-rationals-and-differentiable-at-irrationals に書いてある。リンク先では f：R → R の場合を考えている。 f：R → R の不連続点の集合が R において稠密ならば、 f の微分不可能点の集合は「第二類集合」を部分集合として持つらしい (このことから、題意の関数が存在しないことが即座に従う)。 面倒くさいからちゃんと読んでないけど、もしリンク先の証明が正しいなら、 f：[0,1] → R の場合も、同じ手法によって「存在しない」ことが証明できるでしょう。 おっちゃんは何やら「存在する」と言っているようだが、 例のごとく、おっちゃんクオリティで盛大に間違ってるんだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/421
422: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK >>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、 微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。 定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。 もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で リプシッツ連続である。 この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」 となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、 R−Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f となるので、 R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422
423: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:28:51.02 ID:Brtx3QWc >>421-422 あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば f(0)＝f(1)＝1、 任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、 x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|＝1 となって間違いなのか。 3以上の任意の正整数nに対して |( f(x)−f(b) )/(x−b)|＝|(a−p/q)|/|(a−p/q)|＜1/(q^n|a−p/q|) を満たす既約分数 b＝p/q∈(0,1) は可算無限個あって 分母の正整数 q＞p も当然可算無限個あるから、直観的に条件を満たしているかと思っていたんだけど、 実際は可算無限個の既約分数 p/q∈(0,1) に対して q^n|a−p/q|＜1 なのか。 だけど正整数 n≧3 を任意に取って a→+∞ としても、q^n|1−p/(aq)|＜1/a を満たす 既約有理数数 b＝p/q∈(0,1) が可算無限個あるというのが何か直観に反するな。 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/423
439: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:24:51.09 ID:cl7UYlaS >>437 フーン、私も>>421のサイトを詳しく読んでおらずよく分からないが、 >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) 自体が存在しなかった訳か。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/439
444: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 07:01:27.36 ID:ezf/yWFV >>421 ＞このような関数は存在しない ええ、リュービル数では微分不可能です ちなみにリュービル数全体の集合は測度０です 実際、ほとんどの無理数で微分可能な関数は可能です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/444
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