[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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530(3): 2017/11/24(金)12:24 ID:oy9GryqM(1/3) AAS
おっちゃんです。
え〜、>>430-431には間違いがあります。正しくは次のようになる。
超越数 a∈R について、aがリウビル数であるための必要十分は、
任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が 1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n を満たすことである。
(証明)、[第１段]：a∈I をリウビル数とする。正整数nを任意に取る。
有理数直線Qの部分空間 J(n,a) を J(n,a)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^n } と定義する。
正整数の大小関係から、(p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q の分母qについて、
qに上限は存在せず下限 c＝inf_{ (p,q)＝1, p/q∈J(n,a) }(q) が存在する。故に、J(n,a) は可算無限集合である。
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q を任意に取る。
すると、|a−p/q| は超越数で |a−p/q|＞0 だから、J(n,a) の定義に注意すると、
p/q に対して或る正整数 m(p/q) が存在して、1/( m(p/q)・q^n )＜|a−p/q|＜1/q^n。従って、m(p/q)≧2。
J(n,a) の既約分数 p/q は任意であるから、既約分数 p/q を J(n,a) 上で走らせれば、
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された或る有理数 p/q∈J(n,a) が存在し、
p/q に対して或る2以上の整数 m(p/q) が定まって、m＝m(p/q) とおけば、
k≧m のとき、高々有限個の (p,k)＝1 なる正整数 p,k を用いて表された
有理数 p/k∈J(n,a) は 1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n を満たす。
531: 2017/11/24(金)12:27 ID:oy9GryqM(2/3) AAS
(>>530の続き)
1)：q≧k のとき。このとき、1/(q^{n+1})＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
2)：q＜k のとき。cの定義から、k＞q≧c≧2 であり、1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/c^n≦1/2^n、
従って、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p',q')＝1 なる正整数 p', q' を用いて表された
有理数 p'/q' が存在して、1/( (q')^{n+1} )＜|a−p'/q'|＜1/(q')^n となる。
1)、2)から、nに対して高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p_n, q_n)＝1 なる
正整数 p_n, q_n を用いて表された既約分数 p_n/q_n が定まって、各 (p_n, q_n) について
p＝p_n, q＝q_n と略記することにすれば、高々有限個の J(n,a) の
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
正整数nは任意であるから、nを条件 n≧1 の下で走らせれば、任意の正整数nに対して、同様なことが成り立つ。
[第２段]：任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となるとする。このとき、任意の正整数nに対して
0＜|a−p/q|＜1/q^n なる J(n,a) の有理数 p/q が存在するから、超越数 a∈R はリウビル数である。
[第３段]：これで命題は示された。
532(1): 2017/11/24(金)13:13 ID:oy9GryqM(3/3) AAS
>>530の訂正：(証明の最初)
a∈I → a∈R
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