[過去ログ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692レス)
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418
(1): 2017/11/20(月)11:35 ID:Brtx3QWc(1/5) AAS
>>397-398
おっちゃんです。

>関数を f(x) を挙げるだけなら、出来た(>>153の通り)
>が、証明はできなかったね(^^
残念でした。私が考えていた f(x) は>>153の関数ではございません。最初に想定していた
>区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能
>となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題
つまり本を正せば、>>75
>Q3. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能(当然連続)な関数を1つ示せ
というのは、
1):実関数 f(x) は閉区間 I=[0,1] を定義域とし、
2):任意の点 x=p/q∈Q∩I (p、qは互いに素) で f(p/q) は不連続で、
3):任意の点 x∈(R\Q)∩I で f(x) は微分可能である。
以上の1)、2)、3)の3条件を満たすような実関数 f(x) を挙げてε-δで示せ
というモノだったんだよ。>>75はそういう意味で出題されていたとも読み取れる。
条件2)や条件3)の「任意の」の部分を「或る」に変えたら
少なくともこの話よりは短く簡単になって、>>153で話は終了になる。
それに、>>153で話が済むなら、小平解析入門にも似たような話が書かれている。

11/14(火) の ID:jtNc+3xe は私ではない。スレ主の自演だろう。
419: 2017/11/20(月)11:54 ID:Brtx3QWc(2/5) AAS
>>397-398
まあ、>>418で私が書いた「>>153」は「>>146」とした方が適切だろうな。
423
(2): 2017/11/20(月)18:28 ID:Brtx3QWc(3/5) AAS
>>421-422
あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば
f(0)=f(1)=1、
任意の既約な有理数 x=p/q∈(0,1) に対して f(p/q)=p/q、
超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)=a
というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x=0,1 のときはともかく、
x∈(0,1 )が無理数、b=p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|=1 となって間違いなのか。
3以上の任意の正整数nに対して
|( f(x)−f(b) )/(x−b)|=|(a−p/q)|/|(a−p/q)|<1/(q^n|a−p/q|)
を満たす既約分数 b=p/q∈(0,1) は可算無限個あって
分母の正整数 q>p も当然可算無限個あるから、直観的に条件を満たしているかと思っていたんだけど、
実際は可算無限個の既約分数 p/q∈(0,1) に対して q^n|a−p/q|<1 なのか。
だけど正整数 n≧3 を任意に取って a→+∞ としても、q^n|1−p/(aq)|<1/a を満たす
既約有理数数 b=p/q∈(0,1) が可算無限個あるというのが何か直観に反するな。
1
424: 2017/11/20(月)18:32 ID:Brtx3QWc(4/5) AAS
あ、最後の行に「1」が付いていた。
425: 2017/11/20(月)18:45 ID:Brtx3QWc(5/5) AAS
今日はおっちゃん寝る。
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