現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む46

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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61: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/11/12(日) 09:14:46.14 ID:cTg/FCp5

>>60 関連

スレ45 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/819-820
819 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/11(土) 18:36:13.23 ID:nimHTkvQ [22/25]
>>817 補足

（>>767より）
"関数f:S→Rについてあるx∈Sを選んでf(x)の値を当てる件について
(抜粋)
3.　Sが区間[0,1]の場合
→fと上記区間内の測度0の集合上のxで値が異なるだけのgを
　fと同値とする同値関係を定義し同値類の代表元f'をとれば、
　x∈Sについてf(x)=f'(x)となる確率は1　（区間[0,1]上の測度で考える)"

（>>472より）”When, in step 3, Bob reveals {(x0, f(x0)) ｜ x0 ≠ x }, you know what equivalence class f is in, because you know its values at all but one point. ”
なのだから、x0を一つやれば、Bobのf(x)は、x0 以外全部分るんだ（＾＾

（>>471より）"In fact, it turns out that if you, say, choose x in Step 2 with uniform probability from [ 0,1 ]"
だったでしょ？

簡単な話で、”choose x in Step 2 with uniform probability from [ 0,1 ]”だから、 Gameを、[ 0,1 ]の0から初めて1に達するまで、続ける
x=0のときに、Bobのf(x)が分って、同値類が分って、代表f'(x)が決まる。あとを続ければ、Δf ＝ f(x)−f'(x) は、”定義の通り” [ 0,1 ]では有限個しか不一致がないんだ

それだけのこと。つまり、x=0のときに、代表f'(x)が決まるから、あとはどこで有限個が外れるか、その時点で全て分るわけさ！！ （＾＾
これだと、関数の数当てとしては、完全にトリビアで、数学的に無価値だろ？ （＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/61

485: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/11/22(水) 19:20:59.14 ID:mEHYOxL2

>>484 つづき

＜結論＞
１．以上より、[HT08b]（XOR’S HAMMERのパズル元ネタ）は、著者自身の手（[HT09]と[成書]と）で、否定されている。
　”The exact characterization of the error sets in this example (as scattered sets) was absent in [HT08b].”
２．元々、[HT08b]中で
　「これをμ戦略が確率1で正しいと解釈することには注意が必要です。
　　固定されたfixed true シナリオの場合、区間[0,1]（またはRにおいて、適切な確率分布の下で）において瞬間tをランダムに選択すると、
　　推論3.4は、μ戦略がtで確率1で正しいことを教えてくれる。
　　しかし、瞬間tを固定してランダムにfixed true シナリオを選択すると、そのシナリオの下でμ戦略が正しい確率は0であるか、または存在しないかもしれません
　　ランダムなシナリオの概念をどのように定義するかによって異なります。」と注意を入れていて、完全に嵌まっている訳では無かったが
　　しかし、その”1. INTRODUCTION”には、思わせぶりなことが書いてあり、ミスリードだろう。

３．XOR’S HAMMERは、勿論、きちんと[HT08b]中の注意書きは読んでいて、意識してあくまで、”Here’s a puzzle”と断っていることを注意しておく。

４．なお、XOR’S HAMMERのパズルに嵌まるのは、[HT08b]でのTaylor氏らの嵌まり方を見ると、素人衆がハマルのも、これは無理は無い面もある。

５．しかし、ハマッたままで、”固定！”とか勝手に叫ぶと、時枝でも同じく嵌まりの図だろう。
　「何を固定するかで、確率が１になったり、０になったり、はたまた、存在しないかもしれない
　　ランダムなシナリオの概念をどのように定義するかによって異なる。
　　これが、[HT08b]の結論である！」（上記）をしっかり味わうように！！

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/485

556: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/11/26(日) 13:28:09.14 ID:1WQ1V5QH

>>555 つづき

P34
(抜粋)
前節までの結果から自然にわき上がる最初の問題といえば次のようなものになる。
どのような定数c に対して、任意のα に対する不等式

｜α−p/q｜< c/q^2　(33)

が無限に整数解p; q（q > 0）を持つだろうか。前節の最後の結果によると次の定理を得る。

定理21. 任意のα に対して、c >= (1/√5) のとき不等式(33) は無限に多くの整数解
p, q（q > 0）を持つ。しかしながらもしc < (1/√5) であれば、適当なα に対しては
(33) は有限個の解しか持たない。

P35
(抜粋)
これによれば、与えられたa0,  a1,  ・ ・ ・ ,  ak に
対して、それに続くak+1 がより大きければ大きいほど、pk=qk はα をより近く近似
するということが明らかである。そして近似子はいかなる場合であっても最良近似な
のだから、大きな数を要素として含むような無理数ほど有理分数でよく近似できると
いう結論を得る。この量に関する注意は不等式(34) によって定量的に表わされてい
る。特に有界な要素を持つ無理数は最悪にしか近似できない。従って、今まで固定し
た程度よりも高い近似を持たない無理数を例示しようとしたときに、数
(√5 + 1)／2= [1; 1, 1, ・ ・ ・]
を何故何度も繰り返して持ち出したかということが明快になった。すべての無理数の
中で、この数は明らかに可能な中で最も小さな要素しか持っていない。（a0 は除く。
これは何の役割も果たさないから。）だから有理数で最も近似されない数だったので
ある。
有界な要素しか持っていない数に特有の近似性は次の命題で完全に言い表される。
そしてこれは、すでに述べたように、ほとんど明らかなことである。

定理23. 有界な要素を持つ任意の無理数α と十分に小さなc に対して、不等式

｜α−p/q｜< c/q^2

は整数解p, q（q > 0）を持たない。他方で、非有界な要素の列を持つ数α に対して
は、任意のc > 0 に対して(33) は無限にそのような解を持つ。
言い換えれば有界な要素を持つ無理数は決して1/q^2 よりも高い近似を持たないが、
非有界な要素を持つ無理数はより高階の近似を持つ。
(引用終り)

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/556

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