[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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596(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/26(日)23:26 ID:1WQ1V5QH(31/34) AAS
>>575 補足
原本PDFを見て貰った方が視認性は良いが、後の検索性のためにコピペする（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.unirioja.es
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
(抜粋)
P7
4. The theorem of Thue-Siegel-Roth revisited
Or, equivalently, if x is an irrational algebraic number, there exists a positive constant C(x, α) such
that ｜x - p/q ｜< C(x, α)/q^(2+α) (10)
has no rational solution.
P8
Remark 3. We have proved Theorem 3 by using the Thue-Siegel-Roth theorem.
But we have said that it is a reformulation. So, let us see how to
deduce the Thue-Siegel-Roth theorem from Theorem 3.
Given x algebraic and irrational, and ν > 2, Theorem 3 ensures that fν
is differentiable at x, so there exists
lim y→x {fν(y) - fν(x)}/(y - x) = f’ν (x).
By approximating y → x by irrationals y, it follows that f’ν (x) = 0.
Consequently, by approximating y → x by rationals, i.e., y = p/q, we also must have
lim p/q→x ｛fν(p/q) - fν(x)｝/(p/q - x ) = lim p/q→x (1/qν)/(p/q - x) = 0.
Then, for every ε > 0, there exists δ > 0 such that
1/(q^ν) <= ε｜p/q - x｜
when p/q ∈ (x - δ, x + δ). From here, it is easy to check that the same
happens for every p/q ∈ Q, perhaps with a greather constant ε' in the place
of ε. Thus, (10) with α = ν-2 and some positive constant C(x, α) = 1/ε' has
no rational solution, and we have obtained the Thue-Siegel-Roth theorem.
(引用終り)
つづく
597(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/26(日)23:27 ID:1WQ1V5QH(32/34) AAS
>>596 つづき
上記は下記のここやね（＾＾
「α が代数的な数に限らず実数全体とすると、ロスの定理（とラングの予想の双方）は、ほとんど全ての実数 α に対して成立する」ってことなんだ！（＾＾
ようやく理解できたよ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
(抜粋)
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理（英: Thue?Siegel?Roth theorem）、あるいは単にロスの定理 (Roth's theorem) は、代数的数に対するディオファントス近似における基本的な定理である。定量的な定理であり、与えられた代数的数 α が「非常に良い」有理数近似をそれほど多くは持たないかもしれないというものである。
半世紀以上に渡って、この「非常に良い」の意味は多くの数学者によって改良されていった。はじめは1844年にジョゼフ・リウヴィルによって、そして Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), Klaus Roth (1955) らの仕事が続いた。
議論
この種の議論における最初の結果は、代数的数の近似に関するリウヴィルの定理で、次数 d ? 2 の代数的数 α に対するディオファントス近似の指数を d と与える。超越数の存在を示すにはこの近似で充分であった（リウヴィル数参照）。
トゥエは d より小さな指数をディオファントス方程式の解に対して適用でき得ることを見出し、1909年にトゥエの定理 (Thue's theorem) から、指数は d/2 + 1 + ε であることを示した。その後、ジーゲルの定理 (Siegel's theorem) によって 2√d、1947年のダイソンの定理 (Dyson's theorem) によって √(2d) と指数の値が改良された。
指数が 2 となるロスの定理は、ε = 0 とすると定理が成立しないという意味で最良である。ディリクレのディオファントス近似定理により、任意の無理数に対し無限個の解が存在するからである。しかし、サージ・ラングによるより強い予想：
｜α - p/q｜< 1/{q^2*log q^(1+ε)}
は整数解 p, q を有限個しか持たないという予想がある。
α が代数的な数に限らず実数全体とすると、ロスの定理とラングの予想の双方は、ほとんど全ての実数 α に対して成立する。
つづく
598: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/26(日)23:28 ID:1WQ1V5QH(33/34) AAS
>>597 つづき
証明の方法
証明の方法は、多変数の補助函数（英語版） (auxiliary function) を構成することで、多すぎる良い近似の存在の矛盾を導くという方法だった。この種の手法の性質から、ロスの定理は数論において有効ではない（計算可能ではない）。
この種の定理は主としてディオファントス方程式の解の個数を制限することに利用されるため、ロスの定理が有効な結果ではない（計算可能でない）ということは、特に重要である。
(引用終り)
（英版）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Roth's theorem
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クラウス・フリードリッヒ・ロス
(抜粋)
クラウス・フリードリッヒ・ロス（Klaus Friedrich Roth、1925年10月29日 - 2015年11月10日）は、ドイツ出身のイギリスの数学者。ディオファントス近似や不規則偏差理論の研究などで知られる。当時ドイツ領だったブレスラウ（現在はポーランドの都市ヴロツワフ）で生まれ、イギリスで育った。
1945年にハロルド・ダベンポート（英語版）の下でケンブリッジ大学のピーターハウス（英語版）を卒業した。
1952年、自然数の有限密度部分集合は無数の長さ3の等差数列を含むことを証明し、今日セメレディの定理（英語版）として知られているものを作り上げた。彼の最終的な結論は、今日Thue?Siegel?Rothの定理として知られているものにまとめられ、1955年にユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンでの講義で発表された。
彼は1958年にフィールズ賞を受賞した。1961年に教授となり、1966年に学長としてインペリアル・カレッジ・ロンドンへ移り、1988年まで務めた。
(引用終り)
以上
599(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/26(日)23:44 ID:1WQ1V5QH(34/34) AAS
>>595
>> 「(6面)サイコロの目を当てる確率は1/6」は、実質定義だ！
>数当て戦略で「6列の無限数列の(全て異なると仮定した)決定番号の最大値を引く確率が1/6」も同じこと
話は、全く逆
１．上記>>593 原隆先生の”1.4 確率変数と期待値” サイコロの出た目の数をX とする 確率変数 P[X = i] = 1/6 と言うのが自然な定義
２．これを、時枝の可算無限個の箱に、頭からしっぽまで全部入れる。従って、箱は全て確率 = 1/6 と言うのが自然な定義
（ここは、12面サイコロでも良いし、もともとは任意の実数で良かったのだった！！）
３．時枝記事（>>19）は、これが100列に並び変えると、1/6 であった定義のある一つの箱について99/100で的中できるという。箱を開けなくても当てられるという
４．時枝先生は、これを”ふしぎな戦略”（>>22）と呼ぶ。
５．一方、あなたは、”ふしぎでもなんでもない”という。
６．私は、明らかに、「あなたは時枝記事が読めていない！」と思いますよ（＾＾
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