[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
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514(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:14 ID:A258vGqh(4/13) AAS
>>200 補足
>外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.unirioja.es DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, JUAN LUIS VARONA 2009
References [4] A. Ya. Khinchin, Continued fractions, The University of Chicago Press, 1964. Reprint: Dover, 1997.
これの和訳がゲット！（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:argent.shinshu-u.ac.jp
A. Ya. ヒンチン（Khinchin）著 連分数 （訳：乙部厳己）
（Khinchin, A. Ya., Continued fractions. With a preface by B. V. Gnedenko. Translated from the third (1961) Russian edition. Reprint of the 1964 translation. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1997）
第3版への序
A. Ya. ヒンチン（Khinchin）による素晴らしい本のこの（第3）版は、著者の死後す
ぐにState Press for Physics and Mathematics によって引き受けられたものである。
このため、この本は私の頭文字（B.G.）の付けられた文献についての簡単な注意を除
けば何の変更もなされていない。
B. V. グネデンコ（Gnedenko）
Continued Fractions, Mineola, N.Y. : Dover Publications, 1997, ISBN 0-486-69630-8 (first published in Moscow, 1935)
(引用終り)
（参考）外部ﾘﾝｸ:argent.shinshu-u.ac.jp 乙部厳己 Yoshiki OTOBE 信州大学理学部 数理・自然情報科学科
（乙部厳己）
ヒンチン（Aleksandr Yakovlevich Khinchin, 1894-1959）が亡くなって50年以上が経過しましたので、かつて訳したものを公開します。
注：かつて学部生の卒業研究の資料用に1週程度で訳したものですので、訳語・訳文の検討は一切なされておりません。また書き間違い等も残っています。その後一度大学院講義「力学系」として講義しましたので、もし要望があればそのときのメモを元に修正します。
つづく
515(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:15 ID:A258vGqh(5/13) AAS
>>514 つづき
＜参考：連分数＞
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.geocities.jp ■２００６年のコラム（閑話休題）
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.geocities.jp
９６．無理数・代数的数・超越数（その７） (06/10/31) Ikuro's Home Page
(抜粋)
有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になる．
πの数の並び方には何のパターンもない．しかし，単純連分数（分子がすべて１）に限らなければ，
π／４＝１／｛１＋１^2／｛２＋３^2／｛２＋５^2／｛２＋７^2／｛２＋９^2／｛２＋・・・｝
分子には奇数の平方が並んでいるというパターンを見つけることができる．
(引用終り)
つづく
516(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:15 ID:A258vGqh(6/13) AAS
>>515 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
連分数
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古来からペル方程式の解法にも利用された。
x = [a0; a1, a2, a3]
目次 [非表示]
1 連分数展開の例
2 連分数の計算方法
3 連分数の性質
4 様々な数の連分数展開
5 力学系としての連分数
6 脚注
7 参考文献
8 外部リンク
つづく
517(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:16 ID:A258vGqh(7/13) AAS
>>516 つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
(抜粋)
Contents [hide]
1 Motivation and notation
2 Basic formula
3 Calculating continued fraction representations
4 Notations for continued fractions
5 Finite continued fractions
6 Continued fractions of reciprocals
7 Infinite continued fractions and convergents
7.1 Properties
7.2 Some useful theorems
8 Semiconvergents
9 Best rational approximations
9.1 Best rational within an interval
9.2 Interval for a convergent
10 Comparison of continued fractions
11 Continued fraction expansions of π
12 Generalized continued fraction
13 Other continued fraction expansions
13.1 Periodic continued fractions
13.2 A property of the golden ratio φ
13.3 Regular patterns in continued fractions
13.4 Typical continued fractions
14 Applications
14.1 Square roots
14.2 Pell's equation
14.3 Dynamical systems
14.4 Eigenvalues and eigenvectors
15 Examples of rational and irrational numbers
16 History of continued fractions
17 See also
18 Notes
19 References
20 External links
(引用終り)
つづく
518(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:16 ID:A258vGqh(8/13) AAS
>>517 つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.maths.ed.ac.uk
Geometry of Continued Fractions MC IRWIN 著 The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 , pp. 696-703 (Oct., 1989)
つづく
519(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:18 ID:A258vGqh(9/13) AAS
>>518 つづき
ヒンチン先生の名前は、いろんなところで出てきますね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
アレクサンドル・ヒンチン
(抜粋)
アレクサンドル・ヤコヴレヴィチ・ヒンチン（英: Aleksandr Yakovlevich Khinchin、1894年7月19日 - 1959年11月18日）
ロシア人数学者であり、ソビエト連邦における確率論の大家。カルーガ州コンドロヴォ出身。
1916年にモスクワ大学を卒業し、6年後に教授となり、亡くなるまで教授職を務め続けた。
当初、実解析を研究していたが、後に確率論や数論に測度論の手法を適用する研究を行った。
1924年に重複対数の法則を発見し、極限定理についても重要な成果を挙げ、定常過程を定義してその理論的基盤も確立し、現代確率論の基礎を築いた。
ディオファントス近似の測度論についても重要な貢献をし、単純な実連分数についても重要な成果を確立し、ヒンチンの定数と呼ばれる属性を発見した。
統計力学においても確率論の手法を使った重要な業績を残しており、他にも情報理論、待ち行列理論、解析学にも業績を残している。
1939年、ヒンチンはロシア科学アカデミーの Correspondent Member に選ばれた。1941年にはソビエト連邦国家賞を受賞し、他にもレーニン勲章を含むいくつかの勲章やメダルを授与されている。
関連項目
ウィーナー＝ヒンチンの定理
ヒンチンの定数
連分数
(引用終り)
以上
520: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)16:23 ID:A258vGqh(10/13) AAS
>>514 補足
ヒンチン先生の英文のPDFは、あるのだが、有料の場合と、無料だが個人アドレス登録が必要な場合しか、ヒットしなかったので、諦めた（＾＾
「無料だが個人アドレス登録が必要」というのが、なんとなく胡散臭くてね
一つだけまともそうなのがあったが・・
521: 2017/11/23(木)16:47 ID:YPvALa6A(4/4) AAS
早く一年生向け教科書買って来い
522(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)19:18 ID:A258vGqh(11/13) AAS
>>519 関連
ヒンチン先生に似た発音で、ヒッチン先生（Oxford University and a British mathematician）が居るね（＾＾
（下記ご参照）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヒッチン系
(抜粋)
数学では、ヒッチン可積分系（英語：Hitchin system）は、1987年にニージェル・ヒッチン（英語版）が導入し、複素簡約群やコンパクトリーマン面の選択に依存した可積分系のことを言う。
ヒッチンファイバー は、ヒッチンバンドルのペア（英語版）[2]のモジュライ空間から特性方程式(characteristic polynomial)への写像である。Ngo (2006, 2010)では、基本補題（英語版）(fundamental lemma)の証明に、有限体上のヒッチンファイバーを使った。
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Nigel Hitchin
(抜粋)
Nigel James Hitchin FRS (born 2 August 1946) is the Savilian Professor of Geometry at Oxford University and a British mathematician working in the fields of differential geometry, algebraic geometry, and mathematical physics.
Honours and awards
In 2016 he received the Shaw Prize in Mathematical Sciences.[6]
(引用終り)
(参考)過去スレ6 2chｽﾚ:math Hitchin fibration
523(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)19:20 ID:A258vGqh(12/13) AAS
>>522 訂正
(参考)過去スレ6 2chｽﾚ:math Hitchin fibration
↓
(参考)過去スレ6 2chｽﾚ:math Hitchin fibration
524(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/23(木)19:54 ID:A258vGqh(13/13) AAS
>>522 (検索ヒットしたのでおまけ)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.mathematik.hu-berlin.de
The Hitchin fibration in the Langlands program Gerard Laumon CNRS and Universite Paris-Sud 2013/01/11
525: 2017/11/23(木)20:37 ID:FEjH78/b(2/4) AAS
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励∪縺
526(1): 2017/11/23(木)20:40 ID:FEjH78/b(3/4) AAS
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阪?奄?脂?医厳鐔常秋膰阪?奄??減?奄??膰削舟膰削洲
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秀膰咲??膵?鐔∞?鐔∝孝莢??膰削繍??舟莟?鐔ｇ減?奄
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527(1): 2017/11/23(木)20:43 ID:FEjH78/b(4/4) AAS
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528(2): 2017/11/24(金)00:15 ID:ogGa93Zn(1/2) AAS
間違いを認められないスレ主は今年も進歩がありませんでしたとさ
529(6): 2017/11/24(金)11:21 ID:qDhoE0cr(1) AAS
ぷ
x,y∈N
P(x<y)=1/2
P(x<y0)=0
これに尽きるねー
530(3): 2017/11/24(金)12:24 ID:oy9GryqM(1/3) AAS
おっちゃんです。
え〜、>>430-431には間違いがあります。正しくは次のようになる。
超越数 a∈R について、aがリウビル数であるための必要十分は、
任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が 1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n を満たすことである。
(証明)、[第１段]：a∈I をリウビル数とする。正整数nを任意に取る。
有理数直線Qの部分空間 J(n,a) を J(n,a)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^n } と定義する。
正整数の大小関係から、(p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q の分母qについて、
qに上限は存在せず下限 c＝inf_{ (p,q)＝1, p/q∈J(n,a) }(q) が存在する。故に、J(n,a) は可算無限集合である。
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q を任意に取る。
すると、|a−p/q| は超越数で |a−p/q|＞0 だから、J(n,a) の定義に注意すると、
p/q に対して或る正整数 m(p/q) が存在して、1/( m(p/q)・q^n )＜|a−p/q|＜1/q^n。従って、m(p/q)≧2。
J(n,a) の既約分数 p/q は任意であるから、既約分数 p/q を J(n,a) 上で走らせれば、
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された或る有理数 p/q∈J(n,a) が存在し、
p/q に対して或る2以上の整数 m(p/q) が定まって、m＝m(p/q) とおけば、
k≧m のとき、高々有限個の (p,k)＝1 なる正整数 p,k を用いて表された
有理数 p/k∈J(n,a) は 1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n を満たす。
531: 2017/11/24(金)12:27 ID:oy9GryqM(2/3) AAS
(>>530の続き)
1)：q≧k のとき。このとき、1/(q^{n+1})＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
2)：q＜k のとき。cの定義から、k＞q≧c≧2 であり、1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/c^n≦1/2^n、
従って、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p',q')＝1 なる正整数 p', q' を用いて表された
有理数 p'/q' が存在して、1/( (q')^{n+1} )＜|a−p'/q'|＜1/(q')^n となる。
1)、2)から、nに対して高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p_n, q_n)＝1 なる
正整数 p_n, q_n を用いて表された既約分数 p_n/q_n が定まって、各 (p_n, q_n) について
p＝p_n, q＝q_n と略記することにすれば、高々有限個の J(n,a) の
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
正整数nは任意であるから、nを条件 n≧1 の下で走らせれば、任意の正整数nに対して、同様なことが成り立つ。
[第２段]：任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となるとする。このとき、任意の正整数nに対して
0＜|a−p/q|＜1/q^n なる J(n,a) の有理数 p/q が存在するから、超越数 a∈R はリウビル数である。
[第３段]：これで命題は示された。
532(1): 2017/11/24(金)13:13 ID:oy9GryqM(3/3) AAS
>>530の訂正：(証明の最初)
a∈I → a∈R
533(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/24(金)15:57 ID:/ZSZ6Nly(1/4) AAS
>>529
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
>x,y∈N
>P(x<y)=1/2
>P(x<y0)=0
>これに尽きるねー
なるほどね〜
さすがだね〜
私よりも、レベルが高いね〜！
ところで、一つ質問だが
上記の
”P(x<y)=1/2
P(x<y0)=0”
は、どこかテキストなどに記載がないだろうか？
あれば、決定的なのだが・・（＾＾
534(2): 2017/11/24(金)17:22 ID:Js0Ln6ct(1) AAS
>>529
> ぷ
> x,y∈N
> P(x<y)=1/2
> P(x<y0)=0
> これに尽きるねー
お前は確率変数を取り違えている。
お前のバカレスはこれに尽きる。
535(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/24(金)17:27 ID:/ZSZ6Nly(2/4) AAS
>>397-398 自己訂正
(抜粋)
”下記無理数を(a)連分数展開可能な無理数の点と、(b)そうでない無理数で微分出来ない点に分け、
(a)は微分可能で、”(a) and (b) are both of them un-countable.”だと。まあ、これは私の手では独力では証明できないと悟った
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.unirioja.es
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.”
(引用終わり)
ここ
＜訂正＞
(a)連分数展開可能な無理数の点
↓
(a)連分数展開で有界な要素を持つ無理数の点
注）”with bounded elements”が、全く読めていなかった
「有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になる．」（>>515より）
らしいから、おれ連分数展開がよく分かってなかったんだな（＾＾
(>>514より関連抜粋)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:argent.shinshu-u.ac.jp
A. Ya. ヒンチン（Khinchin）著 連分数 （訳：乙部厳己）
(抜粋)
Ｐ36
有界な要素しか持っていない数に特有の近似性は次の命題で完全に言い表される。
そしてこれは、すでに述べたように、ほとんど明らかなことである。
定理23. 有界な要素を持つ任意の無理数R と十分に小さなc に対して、
(引用終わり)
つづく
536(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/24(金)17:28 ID:/ZSZ6Nly(3/4) AAS
>>535 つづき
追伸
Ｐ43 「9 代数的無理数の近似とリュービルの超越数」
Ｐ45 「10 2 次無理数と周期的連分数」
”定理28. すべての周期的な連分数は2 次無理数を表わしており、すべての2 次無理
数は周期的な連分数で表わされる。”
”より高次の代数的無理数を表わす連分数に関しては、いかなる類似の証明も知られ
ていない。”
”また、2 より高い次数の代数的数で連分数展開が知られているようなものは、現
在ではまだ存在しないということを注意しておくのも興味深い。たとえば、それらの
展開した要素の集合が有界であるか非有界であるかも分かっていないのである。一般
に2 よりも高い次数の連分数展開に関する問題はきわめて難しく、ほとんど研究され
ていない。”
(引用終わり)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Continued fraction
13.1 Periodic continued fractions
The numbers with periodic continued fraction expansion are precisely the irrational solutions of quadratic equations with rational coefficients
(引用終わり)
なので、上記（>>535より）「無理数で代数的数の場合は無限循環連分数」は、（２次式のみで）言えないかな
「無理数で代数的数の場合は無限有界要素連分数」が正しいかも・・（＾＾
以上
537(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/24(金)17:31 ID:/ZSZ6Nly(4/4) AAS
訂正
無限有界要素連分数
↓
有界要素無限連分数
が分かりやすいかな？（＾＾
538(1): 2017/11/24(金)20:45 ID:ogGa93Zn(2/2) AAS
>>533
＞ところで、一つ質問だが
自問自答は脳内でやれよ
539: 2017/11/25(土)09:15 ID:a04C+Lsx(1/3) AAS
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ⱡ⤠껦瀯焠鋤뮻迣膫難
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540(2): 2017/11/25(土)12:42 ID:a04C+Lsx(2/3) AAS
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諩趋맯붧鋯붹莢鳯붹붦럦邾뷯붲
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鲻臣膄闯붳釯붱㼿맯붧
闥㿯붻뗯붺
㼿
541(3): 2017/11/25(土)17:19 ID:a04C+Lsx(3/3) AAS
苦궣 ૧蒡郦鲉
賨ꚁꃩ肣蛦閰 胢蚓
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542(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/25(土)17:30 ID:QcNp0s4+(1/5) AAS
>>536 連分数メモ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:kanielabo.org
『有理数と無理数のはざま--連分数について』神奈川県教科研究会数学部会総会講演予稿(1998.5.27,県立海老名高校) 蟹江幸博
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教育関係論文の部屋 蟹江マスラボ
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蟹江幸博マセマティックス・ラボラトリー
543(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/11/25(土)17:30 ID:QcNp0s4+(2/5) AAS
>>541 運営おつ（＾＾
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