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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/
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418: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 11:35:21.45 ID:Brtx3QWc >>397-398 おっちゃんです。 >関数を f(x) を挙げるだけなら、出来た（>>153の通り） >が、証明はできなかったね（＾＾ 残念でした。私が考えていた f(x) は>>153の関数ではございません。最初に想定していた >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題 つまり本を正せば、>>75の >Q3. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ というのは、 1)：実関数 f(x) は閉区間 I＝[0,1] を定義域とし、 2)：任意の点 x＝p/q∈Q∩I (p、qは互いに素) で f(p/q) は不連続で、 3)：任意の点 x∈(R＼Q)∩I で f(x) は微分可能である。 以上の1)、2)、3)の3条件を満たすような実関数 f(x) を挙げてε-δで示せ というモノだったんだよ。>>75はそういう意味で出題されていたとも読み取れる。 条件2)や条件3)の「任意の」の部分を「或る」に変えたら 少なくともこの話よりは短く簡単になって、>>153で話は終了になる。 それに、>>153で話が済むなら、小平解析入門にも似たような話が書かれている。 11/14(火) の ID:jtNc+3xe は私ではない。スレ主の自演だろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/418
419: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 11:54:12.59 ID:Brtx3QWc >>397-398 まあ、>>418で私が書いた「>>153」は「>>146」とした方が適切だろうな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/419
420: ID:B6zirv1l [sage] 2017/11/20(月) 12:19:03.53 ID:Wmx9Mde1 >>414 > サイコロを引け、と書いてあるのにくじを引く問題を考えてしまったら算数のテストはバッテンです いけね。サイコロは引けねえやw http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/420
421: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 14:27:38.04 ID:sVbA75bK >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題 このような関数は存在しないことが ttps://math.stackexchange.com/questions/2115/discontinuous-at-rationals-and-differentiable-at-irrationals に書いてある。リンク先では f：R → R の場合を考えている。 f：R → R の不連続点の集合が R において稠密ならば、 f の微分不可能点の集合は「第二類集合」を部分集合として持つらしい (このことから、題意の関数が存在しないことが即座に従う)。 面倒くさいからちゃんと読んでないけど、もしリンク先の証明が正しいなら、 f：[0,1] → R の場合も、同じ手法によって「存在しない」ことが証明できるでしょう。 おっちゃんは何やら「存在する」と言っているようだが、 例のごとく、おっちゃんクオリティで盛大に間違ってるんだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/421
422: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK >>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、 微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。 定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。 もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で リプシッツ連続である。 この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」 となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、 R−Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f となるので、 R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422
423: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:28:51.02 ID:Brtx3QWc >>421-422 あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば f(0)＝f(1)＝1、 任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、 x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|＝1 となって間違いなのか。 3以上の任意の正整数nに対して |( f(x)−f(b) )/(x−b)|＝|(a−p/q)|/|(a−p/q)|＜1/(q^n|a−p/q|) を満たす既約分数 b＝p/q∈(0,1) は可算無限個あって 分母の正整数 q＞p も当然可算無限個あるから、直観的に条件を満たしているかと思っていたんだけど、 実際は可算無限個の既約分数 p/q∈(0,1) に対して q^n|a−p/q|＜1 なのか。 だけど正整数 n≧3 を任意に取って a→+∞ としても、q^n|1−p/(aq)|＜1/a を満たす 既約有理数数 b＝p/q∈(0,1) が可算無限個あるというのが何か直観に反するな。 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/423
424: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:32:31.63 ID:Brtx3QWc あ、最後の行に「1」が付いていた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/424
425: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:45:26.97 ID:Brtx3QWc 今日はおっちゃん寝る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/425
426: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:53:26.23 ID:sVbA75bK >>423 ＞任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 ＞超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a それだと任意の点で不連続だろ。 ・ xが有理数のときは f(x)＝x ・ xが無理数のときは f(x)＝a と定義しているのと同じことだから、y＝x, y＝a という2本の直線が x の値に応じて交互に出現しているようなグラフになる。 どんな間違い方をしているのかと思えば、レベルが低すぎて唖然とするわ。 ・ f(p/q)＝1/q ・ xが無理数のときは f(x)＝0 という、出発点となる例よりも大幅に劣化してるじゃん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/426
427: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 19:16:54.16 ID:sVbA75bK いや、a の値によっては、1点でのみ連続になり得るか。 ・ a＜0 または a＞1 ならば、f は[0,1]上で不連続。 ・ 0＜a＜1 ならば、f は[0,1]上のうち x＝a でのみ連続。 ・ どの場合でも、f は[0,1]上の各点で全く微分できない。 いずれにしても、目標の関数からは程遠く、スレ主が >>397-398で引っ張ってきた例の方が遥かにマシという。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/427
428: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 19:52:11.35 ID:qSwVCv83 >>411 >>412 ＞ゼノンは、言った"区間[0,1]において、スタート地点0から一輪車が転がるとき、0の次に車輪が接する点が決められないから、一輪車は運動できない”と 0の次に車輪が接する点が決められなくとも一輪車は運動できる しかし、[ 0,1 ]を全部”均等”に試行するには、都度実数を決めなければ試行できない よってゼノンのパラドックスは何の論拠にもなっておらず、>>411 >>412はナンセンスである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/428
429: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 04:16:46.58 ID:cl7UYlaS おっちゃんです。 あれ？？？ 計算間違いしていた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/429
430: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 04:23:26.58 ID:cl7UYlaS 正整数nと、超越数 a∈I＝(0,1) とを任意に取る。 任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a というようにして区間 I＝(0,1) で定義された実関数 f(x) を考える。 J＝{ p/q∈I | |f(a)−f(b)|＝|a−p/q)|＜1/q^n, (p,q は互いに素) } とおく。 既約有理数 b＝p/q∈J を任意に取ると、p/q に対して或る正整数mが存在して、 1＝|( f(a)−f(b) )/(a−b)|＜1/(q^n|a−p/q|)＜m で、1/(m・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n となる。 また、p/q の分母qと分子pについて q＞p≧1 で、Jは可算無限集合だから、 Jの既約有理数 p/q についての分母qに上限は存在しないと同時に下限が存在する。 従って、或る正整数 q≧2 が存在して、k≧q のとき、任意の k＞p≧1 なる高々有限個の 既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}＜|a−p/k|＜1/k^n となる。 故に、任意の正整数nと超越数 a∈I＝(0,1) とに対して、或る正整数 q≧2 が存在して、 k≧q のとき、任意の k＞p≧1 なる高々有限個の既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}＜|a−p/k|＜1/k^n となる。 故に、任意の正整数nと超越数 a∈I＝(0,1) とに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈J に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/430
431: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 04:26:24.42 ID:cl7UYlaS (>>430の続き) 逆に、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n とする。 このとき、a∈I＝(0,1) が実代数的数とする。aの最小多項式の次数をnとする。 |a−p/q|≦1/q^{n+1}＜1/q^n なる既約有理数 p/q∈(0,1) (q＞p≧1) は高々有限個存在するから、 |a−p/q|≧1/q^n なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) は可算無限個存在する。 従って、|a−p/q|＜1/q^n≦|a−p/q| なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) が存在して矛盾する。 背理法が適用出来るから、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n なる実数 a∈I＝(0,1) は超越数となる。 故に J⊂I から、実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して 可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。 だけどこれ、知られているよな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/431
432: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 04:49:56.05 ID:cl7UYlaS あっ、a＞0 のときは>>423に計算間違いはなかったか。 a＜0 のときが計算間違いか。 まあ、昨日考えていたあの問題は考え直しだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/432
433: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 05:26:39.15 ID:X9h/AUBd >>430-431 もはや反応するのもバカらしいけど、お前は一体何の話をしてるんだ。 f の話をしろよ。お前がそこで書いてることは f と何の関係もないじゃん。 何で結論が ＞実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して ＞可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。 になってるんだよ。これでは「 実数 a 」に関する議論であって、 f の不連続性とか微分可能性とかの話になってないじゃん。 >>430にしても、一見すると f の話をしているように見えて、 実際には a の話になっていて、f の話を全くしていない。 しかも、お前が考えている f は [0,1]上のどの点でも微分不可能で、 f が連続になる点も高々1点しか存在しない。問題外。 スレ主が引っ張ってきた関数の方が遥かにマシ。 根本的には、そもそも件の f は「存在しない」のだから、これ以上考えても無駄ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/433
434: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 05:34:29.24 ID:X9h/AUBd ところで、おっちゃんが論文を書くという話には 密かに期待してるんだが、どうなったの？ まさか口先だけで何も行動してないわけでは無いよな？ tex の勉強を始めたという書き込みは見た覚えがあるが、 その後どうなったんだ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/434
435: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 05:37:50.56 ID:cl7UYlaS >>433 >何で結論が > >＞実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して >＞可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。 > >になってるんだよ。これでは「 実数 a 」に関する議論であって、 >f の不連続性とか微分可能性とかの話になってないじゃん。 昨日のレスを見直しているうちに思い付いたから書いただけ。 >>432に書いたように、fの微分可能性や不連続性の話は後でな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/435
436: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 05:51:29.58 ID:cl7UYlaS >>434 あ〜、TeX という代物には記号ごとに打つべき記号列の決まりがあったり、 文字を整えるのに却って時間がかかることがあったりして、 覚えることがあって書くのに時間がかかることになって、面倒臭いことがあるんだよ。 美文書作成入門の最新版は分厚いね。 まあ、こっちは有名ジャーナルに投稿するつもりだし、慌ててする気はない。 慌てると却って怪我の本になる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/436
437: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:10:14.08 ID:X9h/AUBd >>435 ＞>>432に書いたように、fの微分可能性や不連続性の話は後でな。 後でも何も、件の f は「存在しない」のだから、これ以上考えても無駄。 無理やり話を続けるなら、微分可能な点がなるべく多いような具体例を 考えるという話は残っているが、スレ主の引っ張ってきた関数なら ある程度の分量で微分可能な点が存在しているので、 これも実質的には終わっている。 つまり、この話は もうやることが無いｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/437
438: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:20:39.68 ID:X9h/AUBd >>436 ＞あ〜、TeX という代物には記号ごとに打つべき記号列の決まりがあったり、 ＞文字を整えるのに却って時間がかかることがあったりして、 ＞覚えることがあって書くのに時間がかかることになって、面倒臭いことがあるんだよ。 「 tex の勉強に苦戦していて全く進んでません」と言ってるようにしか見えないな。 論文を書くと宣言してから数カ月たってるはずだが、まだスタートラインにも経ってないわけだ。 本当にレベルの低いところを彷徨ってばかりだな。ガッカリだわーーーーーーー。 論文のフォーマットなんて雑誌ごとにテンプレートが用意されてることが ほとんどなんだから、こちらで意識すべき整形ポイントは1つも無いし、 「 tex を勉強する」なんて意気込まなくても普通に論文の準備はできるはずなんだけどなあ。 しかも、厳密な整形作業は雑誌側の仕事なんだぞ。つまり、もしアクセプトされたら、 雑誌側が用意した人員が厳密な整形作業をやるんだぞ。何を難しく構えているんだ おっちゃんは。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/438
439: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:24:51.09 ID:cl7UYlaS >>437 フーン、私も>>421のサイトを詳しく読んでおらずよく分からないが、 >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) 自体が存在しなかった訳か。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/439
440: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:26:52.24 ID:X9h/AUBd ちなみに、雑誌側が用意したテンプレートで独自に定義されている命令群に沿って 論文を書かなければならないこともあるし、そもそも tex の命令系統自体が 最初からクソの塊なので、「 tex の勉強 」などというものは基本的に時間の無駄であるｗ tex で文書を書くときの基本的な流れさえ理解できれば十分。 おっちゃんに本当に必要なのは、「 tex の勉強」という漠然とした行為などではなく、 さっさと投稿したい雑誌のサイトに行って投稿規定をくまなく読んで、 テンプレートをダウンロードして いきなり実践的に論文を書き上げることである。 「慌てる必要はない」などと後ろ向きな姿勢になってる時点で問題外。 論文を書き上げるのは慌ててやっていいんだよ。 慌てちゃいけないのは その後の「推敲」と「投稿」だよ。 数か月も経ってるのに まだ書いてすらいないのなら、問題外だよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/440
441: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:34:03.87 ID:cl7UYlaS >>438 >「 tex の勉強に苦戦していて全く進んでません」と言ってるようにしか見えないな。 >論文を書くと宣言してから数カ月たってるはずだが、まだスタートラインにも経ってないわけだ。 >本当にレベルの低いところを彷徨ってばかりだな。ガッカリだわーーーーーーー。 私には余り期待しなくてもよい。期待されると却ってストレスなどが溜まりかねない。 そもそも、するべきことは TeX の学習「だけ」ではなく、TeX の学習「ばかり」に時間を割く訳にもいかんだろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/441
442: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:43:05.49 ID:cl7UYlaS >>440 >おっちゃんに本当に必要なのは、「 tex の勉強」という漠然とした行為などではなく、 >さっさと投稿したい雑誌のサイトに行って投稿規定をくまなく読んで、 >テンプレートをダウンロードして いきなり実践的に論文を書き上げることである。 有名ジャーナルに投稿するには、論文の質の向上が必要だろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/442
443: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:53:52.87 ID:X9h/AUBd >>442 ＞有名ジャーナルに投稿するには、論文の質の向上が必要だろ。 日本語が読めないのかな？>>440にちゃんと書いてあるじゃん。 ＞「慌てる必要はない」などと後ろ向きな姿勢になってる時点で問題外。 ＞論文を書き上げるのは慌ててやっていいんだよ。 ＞慌てちゃいけないのは その後の「推敲」と「投稿」だよ。 質の向上は、論文を書きあげたあとの「推敲」で行えばいいのである。 書いてすらいないのは問題外。 そもそも、書き上げた後でなければ「質」を語ることは不可能。 お前は書いてすらいないのだから、その段階で「質」を語るのは詭弁である。 もしくは、「質」とやらの向上によって、書き上げた論文を根本的に 書き直さなければならない可能性があるのかもしれない。もしそうなら、 そもそも お前は「考えがまとまってない」というスタートライン未満の段階であり、 「論文を書く」と宣言できる段階に達してすらいないことになる。 どちらにしても、お前のやってることは後ろ向きすぎて問題外。 そんなことでは、今から1年後の 2018/11/21 になっても、 1本も論文書いてないと思うよｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/443
444: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 07:01:27.36 ID:ezf/yWFV >>421 ＞このような関数は存在しない ええ、リュービル数では微分不可能です ちなみにリュービル数全体の集合は測度０です 実際、ほとんどの無理数で微分可能な関数は可能です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/444
445: １３２人目の素数さん [] 2017/11/21(火) 07:10:05.52 ID:1JZsY16v 書き込みだけ見てると、 20:00に寝て4:00に起きてるみたいで、 超健康杉w http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/445
446: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 07:32:40.33 ID:cl7UYlaS >>443 >＞有名ジャーナルに投稿するには、論文の質の向上が必要だろ。 > >日本語が読めないのかな？>>440にちゃんと書いてあるじゃん。 >>440の文章において論文の質について書いてあるとすれば、 >さっさと投稿したい雑誌のサイトに行って投稿規定をくまなく読んで、 >テンプレートをダウンロードして いきなり実践的に論文を書き上げることである。 の部分か或いは >慌てちゃいけないのは その後の「推敲」と「投稿」だよ。 だろうが、ここをどう解釈したら質の問題について書かれていると読めるんだ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/446
447: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 07:43:12.81 ID:X9h/AUBd >>446 くだらないイチャモンをつけて何がしたいんだ？ ＞慌てちゃいけないのは その後の「推敲」と「投稿」だよ。 この部分は、明らかに論文の質についての主張を内包している。 「推敲」とは質を上げる行為に他ならないからだ。 おっちゃんが日本語を読めてないだけ。 さて、おっちゃんが情けない腰抜けのクソザコであることは よく分かったので、俺から1つ質問させてくれ。 質問：いくら何でも、今から1年後の 2018/11/21 までには、 少なくとも1本は論文を書き上げてどこかの雑誌に投稿しているよな？ YES か NO かで答えてくれ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/447
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