[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)
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497(4): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/06(月)14:28 ID:OHkR7CnJ(3/6) AAS
>>490-491
>時枝問題ではどこにも複素数も出て来ず、複素解析は使う必要がなく関係ない。
いや、時枝ではなく、>>471 の
”Here’s a puzzle:
You and Bob are going to play a game which has the following steps.”の方なんだ
で、”1)Bob thinks of some function f： Ｒ → Ｒ (it’s arbitrary: it doesn’t have to be continuous or anything).”
という条件で、”2)You pick an x ∈ Ｒ.”で、”3)Bob reveals to you the table of values {(x0, f(x0))｜ x0 ≠ x } of his function on every input except the one you specified”
だと
で、おっちゃんには釈迦に説法だが、解析関数なら、解析接続で、ある近傍の値が分かれば、他の部分の関数値も決まる
だが、単なる連続関数なり、あるいは、不連続関数の場合において
”3)Bob reveals to you the table of values {(x0, f(x0))｜ x0 ≠ x } of his function on every input except the one you specified”が分かったとしても、f(x0)は分からないはず。
それが、関数論から導かれる結論のはず
で、
”In fact, it turns out that if you, say, choose x in Step 2 with uniform probability from [ 0,1 ], the axiom of choice implies that you have a strategy such that, whatever f Bob picked, you will win the game with probability 1!”
は、どう思うかということ
これのコメントを求めたわけだよｗ
500(3): 2017/11/06(月)15:59 ID:EoOXvE/X(5/8) AAS
>>497
>それが、関数論から導かれる結論のはず
f：R→R は実関数だから、複素解析よりむしろ実解析や微分積分で考えた方が導き易い。
f：R→R が不連続な実関数であれば、尚更そうなる。
Dom(f)＝R は実数直線で、1次元の Euclid空間 である。
複素平面Cは幾何的には Euclid平面 R^2 と同じ平面と見なせる。
平面C上の開円盤も幾何的には平面 R^2 の2次元の Euclid空間 と見なせる。
だが、Cの部分集合Aが弧状連結になるには、Aが開集合になっていって
かつAはC上の開円盤を部分空間に持つ必要がある。
なので、f：R→R が解析的にはならず、従ってfは解析関数ではない。
つまり、解析関数とか解析接続が出る幕はない。
501(1): 2017/11/06(月)16:05 ID:EoOXvE/X(6/8) AAS
>>497
(>>500の続き)
>で、
>”In fact, it turns out that if you, say, choose x in Step 2 with uniform probability from [ 0,1 ],
>the axiom of choice implies that you have a strategy such that, whatever f Bob picked, you will win the game with probability 1!”
>は、どう思うかということ
>これのコメントを求めたわけだよｗ
ここで用いられている「turns out」は「……ということが分かる」という意味になるので、
そのサイトを書いた人自身が、その「In fact, it turns out」以降の
>if you, say, choose x in Step 2 with uniform probability from [ 0,1 ],
>the axiom of choice implies that you have a strategy such that,
>whatever f Bob picked, you will win the game with probability 1!”
が客観的に正しいことを(自分自身で)保証して書いているだけ。
選択公理を使うのは極々ありふれた考え方なので何も問題はない。
502: 2017/11/06(月)16:33 ID:EoOXvE/X(7/8) AAS
>>497
>>500の訂正：
平面C上の開円盤も幾何的には平面 R^2 の2次元の Euclid空間 と見なせる。
→ 平面C上の開円盤も幾何的には平面 R^2 の2次元の Euclid空間における真部分空間となる領域 と見なせる。
509(1): 2017/11/06(月)20:24 ID:7zpRwxYO(7/9) AAS
>>497
>解析関数なら、解析接続で、ある近傍の値が分かれば、他の部分の関数値も決まる
>だが、単なる連続関数なり、あるいは、不連続関数の場合において
>”3)Bob reveals to you the table of values {(x0, f(x0))｜ x0 ≠ x } of his function
>on every input except the one you specified”
>が分かったとしても、f(x0)は分からないはず。
>それが、関数論から導かれる結論のはず
そんな結論は複素関数論から得られないよ 統失君
有限個の点xを除いてf(x)=g(x)となる関数を同値とする関係から
同値類が定義できる そして選択公理によって同値類の代表元も取れる
代表元は元の関数ｆと有限個の点でしか異ならないのだから
関数の定義域を[0,1]として、その中から任意にｘを選んだとき、
代表元の関数が元のｆと一致する確率は１
この結論は測度論から導かれる
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