[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)
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453(1): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/05(日)16:16 ID:1Ii8pHae(4/6) AAS
>>417-418
さて、本題
”co-tail”については、過去スレ（例えば>>12-13など）で散々書いてきたんだが
改めて書くか・・（＾＾
（無駄な議論を避けるために、くどいが関連事項も書くよ（＾＾ ）
１．数学の「無限集合に対する有限部分」という表現、ないし類似表現、これにちょっと目を慣らして頂きたいので下記の例を挙げる
１）”無限集合S に対し、補集合が有限であるようなS の部分集合すべての集まりは S 上のフレシェフィルターと呼ばれる。”（フィルター (数学) 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org）
２）”Let 〜 be the equivalence relation on functions from R to R defined by f 〜 g iff for all but finitely many y, f(y) = g(y). ”（SET THEORY AND WEATHER PREDICTION XOR’S HAMMER Some things in mathematical logic that I find interesting WRITTEN BY MKOCONNOR Blog at WordPress.com. AUGUST 23, 2008 外部ﾘﾝｸ:xorshammer.com）
２．上記表現を踏まえて、
１）時枝記事の数列の同値類について、”可算無限数列のしっぽによる同値類〜と代表との関係は、形式的冪級数環を、ある一つの形式的冪級数を代表として、そのしっぽ(指数の高い項の一致で)の同値類〜を考えることに同じ。”ということを書いた（>>372）
２）上記の「無限集合に対する有限部分」という表現に倣えば、「可算無限長数列に対する先頭の有限部分を除いて、数列のしっぽが一致する同値類」ってことだ
３）補題４：これから、導かれることは、任意の同値類の元について「時枝記事の数列のしっぽが一致する部分は、常に可算無限長」だということ。（∵無限−有限＝無限）
（但し、もともとの数列が有限長であった場合、その同値類は、”多項式環”そのものに相当することになる。この場合、”しっぽ”の部分が、空と考えても良いし、０が入っていると考えてもよいだろう。）
つづく
455(6): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/05(日)16:16 ID:1Ii8pHae(5/6) AAS
>>453 つづき
３．上記を踏まえて、co-tailの定義
１）>>376にならって、ある超越数trから作られる形式的冪級数を、A[[X]]tr としよう。
２）A[[X]]trを代表元として作られる同値類を、U_trとしよう。
３）U_trの任意の元を、A'[[X]]trとして（注 ∀A'[[X]]tr ∈U_tr）、A'[[X]]tr＝A[[X]]tr−ΔP(X) （>>376の通り。ΔP(X) は、有限次多項式。なお、上記２項２）ご参照。）
４）補題４より、A'[[X]]trについて、「時枝記事の数列のしっぽが一致する部分は、常に可算無限長」だということを強調しておく。
５）co-tail_trの定義：数列 co-tail_tr：＝∩(〜∞) A'[[X]]tr。
ここに、”∩(〜∞)”は、A'[[X]]trから作られる可算無限長数列において、同値類U_trの全ての元にわたって、共通部分（積集合）を求めたもの。
６）上記co-tail_tr は、ある超越数trから作られる数列についてのものだが、より一般の時枝記事の数列のco-tailの定義についても、容易に一般化できる。
（∵形式的冪級数及び多項式環ともその係数は、一般の実数で可だから）
７）そして、co-tail が尚、「可算無限長」だということも、証明できるだろう（＾＾
以上
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