[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)
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393(3): 2017/11/04(土)16:04 ID:FlBMOH6D(7/10) AAS
>>384
＞１．本来同値類と商集合とは、簡単には、同じ性質を持つものを集めて、一つに纏めて扱おうというもの。
違います。
ある集合X上の二項関係〜が
反射律（∀a∈X に対し、a〜a）
対称律（∀a,∀b∈X に対し a〜b ⇒ b〜a）
推移律（∀a,∀b,∀c∈X に対し a〜b, b〜c ⇒ a〜c）
を全て満たすとき同値関係と云う。
集合Xを同値関係で類別したときの類を同値類と云う。
同値類の集合X/〜を商集合と云う。
スレ主への教育
同値関係によって集合が類別できることを証明せよ
399(1): ◆QZaw55cn4c 2017/11/04(土)17:20 ID:Q4ycapdP(1) AAS
>>393
＞同値関係によって集合が類別できることを証明せよ
ρがA上の同値関係のとき、各a∈Aに対して
U(ρ, a) = {x∈A|xρa}
とおく。
ρの反射律から各a∈Aについてa∈U(ρ, a)で、特にU(ρ, a)≠φ
また c∈U(ρ, a)∩U(ρ, b)のとき、対象律から a∈U(ρ, c) で、
よってx∈U(ρ,a)なら推移律からx∈U(ρ,c)で、さらにx∈U(ρ,b)。
すなわちU(ρ,a)⊂U(ρ,b)。同様にしてU(ρ,b)⊂U(ρ,a)、したがってU(ρ,a)=U(ρ,b)
これは、
任意のa, b∈A について
1)U(ρ, a) ∩U(ρ,b) ＝φか
2)U(ρ, a) ＝U(ρ,b)
のいずれかであることを示す、すなわち同値関係によって集合が類別される。
405(3): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/04(土)20:29 ID:sjIJjomh(19/26) AAS
>>393
>＞ １．本来同値類と商集合とは、簡単には、同じ性質を持つものを集めて、一つに纏めて扱おうというもの。
>違います。
>ある集合X上の二項関係〜が
ピエロは、小学生でレベルが低いから、同値類・商集合の定義を追うので精一杯なんだね（＾＾
だがね、上級者は更に一歩を進めて、その同値類が、well-defined か、あるいは、不変量があるかを考えるものなのだ（下記ご参照）
時枝の可算無限数列のしっぽの先の同値類で、不変量が”co-tail”だと思っているんだがね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
同値類
(抜粋)
不変量
〜 が X 上の同値関係で P(x) が，x 〜 y であるときにはいつでも，P(y) が真ならば P(x) が真であるような，X の元の性質であるとき，性質 P は 〜 の不変量，あるいは関係 〜 のもとで well-defined であるといわれる．
よくある場合は f が X から別の集合 Y への関数であるときに生じる；x1 〜 x2 であるときにはいつでも f(x1) = f(x2) であるとき，f は 〜 に対する射，〜 の下での類不変量，あるいは単に 〜 の下の不変量といわれる．
これは例えば有限群の指標理論において現れる．著者によっては「〜 の下で不変」の代わりに「〜 と両立する」あるいはただ「〜 に従う」を用いる．
任意の関数 f: X → Y はそれ自身，x1 〜 x2 ←→ f(x1) = f(x2) なる X 上の同値関係を定義する．x の同値類は f(x) に写される X の元全体の集合である，つまり，類 [x] は f(x) の逆像である．この同値関係は f の核（英語版）として知られている．
より一般に，関数は（X 上の同値関係 〜X の下で）同値な引数を（Y 上の同値関係 〜Y の下で）同値な値に送ることがある．そのような関数は 〜X から 〜Y への射と呼ばれる．
位相空間論における商空間
商空間という言葉を、更なる構造も含めたうえで、任意の同値関係による同値類集合に対して用いることはできるけれども、商空間と呼ぶ目的は一般に、集合 X 上の同値関係の種類をもとの X に入っているのと同じ種類の構造を同値類集合上に誘導する同値関係と、あるいは群作用の軌道空間と比較することである。
同値関係で保たれる構造の意味でも、群作用に対する不変量の研究の意味でも、いずれも上で与えた同値類の不変量の定義が導かれる。
(引用終り)
431: 2017/11/05(日)12:40 ID:eWWEibTR(2/3) AAS
>>426
まったくその通り
だからわざわざ>>393で教育してあげた、にもかかわらずちっとも真面目に勉強しようとしない
（反抗期の子供みたいに>>405を返すありさま）
どうもスレ主という人物は勉強が大嫌いで上から目線が大好きな御仁のようだ
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