[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)
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376(8): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/04(土)13:19 ID:sjIJjomh(8/26) AAS
>>372 つづき
＜おちこぼれ達のための補習講座11＞
（πと√2による同値類の考察）
１．πと√2による無限列の同値類を考えよう
２．補題１：π−√2は有限小数にはならない。
Proof：ｔ＝π−√2 として、√2＝π−ｔで、2＝(π−ｔ)^2となる。
もし、ｔが有限小数＝有理数なら、πが有理数係数の代数方程式の根になるので、πが超越数であることに反する。
３．πと√2とを、十進法表示したときの各桁の１〜９の数を順に入れて、無限数列を作るとする
数列 Rπ ＝(3,1,4,1,5,・・・）
数列 R√2＝(1,4,1,4,2,・・・）
４．形式的冪級数を作る
A[[X]]π ＝3+1*X+4*X^2+1*X^3+5*X^4・・・
A[[X]]√2＝1+4*X+1*X^2+4*X^3+2*X^4・・・
５．補題１より、差 A[[X]]π−A[[X]]√2 は、なお形式的冪級数である。
６．一方、例えば、数列 Rπを数列のしっぽの同値類（Uπとする）の代表として、
同値類に属する任意の数列は、＜補習講座10＞の記号に倣って
A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) と表わすことができる。
７．補題２：A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) はゼロ級数（0,0,0,0,・・・）には成り得ない。ΔP(X)がm次多項式とすると、必ずm+1以降のどこかにゼロでない項が存在する。
（逆に言えば、ΔP(X)＝A[[X]]π−A'[[X]]π となる）
Proof：ΔP(X)は定義より、有限次数の多項式であり、A[[X]]πは定義より、真性の形式的冪級数であるから。その後の命題は自明。
８．同じことだが、補題２より、ΔP(X)は多項式環に属し、有限次数であるから、必ずしっぽが残る。同じことは√2についても言える。
つまり、co-tailπとco-tail√2とが存在することが証明された。
（∵co-tail（しっぽの先）が存在しないということは、ゼロ級数（0,0,0,0,・・・）が実現できることになり、補題２に反する）
９．補題２以降は、任意の同値類について成り立つ。
以上
377(1): 2017/11/04(土)13:21 ID:FlBMOH6D(2/10) AAS
>>376
これは酷い
378(1): 2017/11/04(土)13:42 ID:ASJ8jdbh(3/9) AAS
>>376
> ８．同じことだが、補題２より、ΔP(X)は多項式環に属し、有限次数であるから、必ずしっぽが残る。同じことは√2についても言える。
> つまり、co-tailπとco-tail√2とが存在することが証明された。
いきなり無定義のco-tailπなるものが証明されたらしいのだが、ナニソレ？
380(1): 2017/11/04(土)13:49 ID:ASJ8jdbh(4/9) AAS
>>376
そして多項式環の性質はどこで役に立ってるんでしょうか・・・
Xのべき乗という無駄な記号が追加されただけでは・・・
383(5): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/04(土)15:13 ID:sjIJjomh(10/26) AAS
>>376 つづき
＜おちこぼれ達のための補習講座12＞
（決定番号の箱は、「開けちゃった」又は「開けちゃいました」の定理）
１．時枝記事はいう （>>19より）
”第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.
・・・ s^k(d)が決められるのであった.”
２．つまり、(D+1) 番目から先の箱だけで、どの同値類に属するかが分る
(D+1) 番目からのずっと先、どこからかで、しっぽが一致する数列が存在するべきだ
３．いま、簡単のために、例えば同値類 Uπに係る出題が成されたとする
代表を＜補習講座11＞の数列 Rπ ＝(3,1,4,1,5,・・・）（形式的冪級数 A[[X]]π ＝3+1*X+4*X^2+1*X^3+5*X^4・・・）とする
(D+1) 番目からのずっと先、例えば(D+1+ j) 番目( j>1) から先が、数列 Rπとしっぽが一致することが分るわけだ
４．ということは、同値類 Uπの中には、同じように、
(D+1+j) 番目から先のしっぽが数列 Rπと一致する元もあれば、
(D+1+j+1) 番目から先のしっぽが数列 Rπと一致する元もあれば、
(D+1+j+j') 番目(j'>1) から先のしっぽが数列 Rπと一致する元もあるはずだ。
５．ところで、いままで簡単のために、代表を数列 Rπとしていたが、数学的に一般には代表はRπである必要はなく、平等に同値類 Uπの中から選ばれるべきだ
６．そうなると、＜補習講座10＞で示したように、多項式を選ぶのだから、(D+j+j') 次以上の多項式が選ばれる確率が、圧倒的に高い
７．もし、代表が、＜補習講座10＞における(D+j+j') 次以上の多項式が選ばれた場合、決定番号dは、d >=(D+1+j+j') となる
８．この場合、しっぽの箱を開けて、属する同値類 Uπが分った瞬間に、決定番号d>=(D+1+j+j') まですでに開けられてしまっており、”決定番号の箱は、「開けちゃった」又は「開けちゃいました」の定理”成立（＝時枝解法不成立）となる
つづく
417(1): 2017/11/04(土)22:56 ID:ASJ8jdbh(8/9) AAS
>>416
> という同値の定義だから、「ここから先のしっぽ」とは言えない定義だからね
何を言っているのか分からないです。
スレ主が>>376で存在を証明した co-tail なるものの定義をきちんと述べてください。
> 動物に例えれば、馬のしっぽだとか、ウサギのしっぽだとかで、同値類を考えるということだが
動物の例えは不要です。
> この同値の定義からは、しっぽの先の毛のまた先の残渣のような部分でも一致していれば、”同値”ってことだから
何を言っているのか分からないです。
> 代表元と同じ同値類に属する任意の元との関係で、残渣は決して空集合にならないということを証明した。それが、”co-tail”だと
残渣＝co-tailなんですか？じゃあ残渣なるものをきちんと定義してください。
> つまり、”co-tail”の存在と時枝記事の同値の定義とは、表裏の関係だと思っているよ
何を言っているのか分からないです。
455(6): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/05(日)16:16 ID:1Ii8pHae(5/6) AAS
>>453 つづき
３．上記を踏まえて、co-tailの定義
１）>>376にならって、ある超越数trから作られる形式的冪級数を、A[[X]]tr としよう。
２）A[[X]]trを代表元として作られる同値類を、U_trとしよう。
３）U_trの任意の元を、A'[[X]]trとして（注 ∀A'[[X]]tr ∈U_tr）、A'[[X]]tr＝A[[X]]tr−ΔP(X) （>>376の通り。ΔP(X) は、有限次多項式。なお、上記２項２）ご参照。）
４）補題４より、A'[[X]]trについて、「時枝記事の数列のしっぽが一致する部分は、常に可算無限長」だということを強調しておく。
５）co-tail_trの定義：数列 co-tail_tr：＝∩(〜∞) A'[[X]]tr。
ここに、”∩(〜∞)”は、A'[[X]]trから作られる可算無限長数列において、同値類U_trの全ての元にわたって、共通部分（積集合）を求めたもの。
６）上記co-tail_tr は、ある超越数trから作られる数列についてのものだが、より一般の時枝記事の数列のco-tailの定義についても、容易に一般化できる。
（∵形式的冪級数及び多項式環ともその係数は、一般の実数で可だから）
７）そして、co-tail が尚、「可算無限長」だということも、証明できるだろう（＾＾
以上
461(5): 2017/11/05(日)16:31 ID:jzNz90lK(10/11) AAS
>>455
>>376についてだが A[[X]] という記号自体が環Aのベキ級数環を指すんだが。
あと、時枝記事のどこにも超越数は出て来ず、時枝問題では関係ない。
469: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/06(月)00:01 ID:1Au30FRy(3/13) AAS
>>461
>>>376についてだが A[[X]] という記号自体が環Aのベキ級数環を指すんだが。
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ああ、そうだね。記号の乱用としても、不適切かもしらんね。
まあ、このアスキー記法に縛られた板では、級数のシグマとか下付きの添え字の扱いが面倒でね（＾＾
つい、横着をして、分かり易いかと思ったんだが・・、院試などでは、減点対象になりかねんな（＾＾
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