[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)
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368(2): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/04(土)09:46 ID:sjIJjomh(2/26) AAS
>>367 つづき
＜おちこぼれ達のための補習講座9＞再録
スレ44 2chｽﾚ:math
630 名前：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/22(日) 14:09:43.51 ID:jBlaYViq [3/14]
＜おちこぼれ達のための補習講座9＞
幼い小学生ピエロは無視して、
High level people さんたちのために（＾＾
（形式的冪級数環と多項式環とを使った証明のスケッチ）
（まあ、突然かたい証明文を投下しても、どうも読めないようだし・・、なのでまずスケッチから・・）
１）形式的冪級数環←→時枝の箱の無限数列：（下記”より形式的な定義”にご注目）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、
Σ _{n=0〜∞ } a_n*X^n=a_0+a_1*X+a_2*X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
より形式的な定義
N を非負整数全体の集合とし、集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
(a_n)_n+(b_n)_n=(a_n+b_n)_n
(a_n)_n*(b_n)_n=(Σ _{k=0〜∞ } a_{k}*b_{n-k} )_n
によって演算を定めると、A^N は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (a_n) は上の Σa_n*X^n と対応する。
つづく
369(1): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/04(土)09:46 ID:sjIJjomh(3/26) AAS
>>368 つづき
631 自分：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/22(日) 14:10:11.40 ID:jBlaYViq [4/14]
２）多項式環←→時枝の箱の無限数列の同値類
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
(抜粋)
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
p(X)=p_m*X^m+p_m-1*X^m-1+・・・ +p_1*X+p_0 =Σ _{k=0〜m }p_k*X^k
の形の式のことである。ここで p_0, ・・・, p_m は K の元で、p の係数といい、X, X^2, ・・・ は形式的な記号だが X の冪という。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと −つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 p_k がすべて零であるということ− は、暗黙の了解である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。
環 K[X] の性質
体上の多項式環 K[X] は多くの面で整数全体のなす環 Z と非常によく似ている。この類似性と多項式環の算術はガウスによって徹底的に調べられ、ガウスの理論は19世紀後半のクンマー、クロネッカー、デデキントらの手による抽象代数学の発展のモデルとしての役割を果たした。
(引用終り)
つづく
516: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/11/07(火)00:02 ID:C8Zmg5mj(2/30) AAS
>>515 つづき
だが、代表元の数列 ruを選び直せるとしたら？
先頭（番号０）の囚人が、自分以外の人を正しく反映した代表元の数列 ruを選べる
同様に、番号ｎの囚人は、ｎ＋１以降の人を正しく反映した代表元の数列 ruを選べる
つまり、この場合は、例えば、番号０の囚人が、他の囚人に代表元を通じて、情報を伝えることができるってことだが、それは今の題意ではないね
まあ、ともかく、「どの同値類に属するのか？ 全員がそれは同値類Uで一致する」ってところがミソだな（＾＾
だれかがランダムに代表元の数列をruを選んだとすると、有限といえども相当多数の人が助からない
じゃ、それは何人くらいと言っても定量評価はできない
ちょうど、>>368からの多項式環の多項式をランダムに選ぶ話に同じで、選ばれる多項式の次数を予測することはできないが如しだな（＾＾
以上
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