[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 (835ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む45 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/

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371: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 09:47:49.71 ID:sjIJjomh >>370 つづき 633 自分返信：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/22(日) 14:11:05.95 ID:jBlaYViq [6/14] ６）補足４：多項式環K[x]の完備化が形式的冪級数環K[[x]]になること https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%8C%96_(%E7%92%B0%E8%AB%96) 完備化 (環論) (抜粋) R = K[x_1,・・・,x_n] を体 K 上の n 変数多項式環とし、 ｍ=(x_1,・・・ ,x_n)を変数によって生成された極大イデアルとする。 このとき完備化 R_ｍは K 上の n 変数形式的冪級数環 K[[x_1,・・・,x_n]] である[4]。 (引用終り) （同英語版） https://en.wikipedia.org/wiki/Completion_(algebra) Completion (algebra) (抜粋) Examples 2. Let R = K[x_1,・・・,x_n] be the polynomial ring in n variables over a field K and ｍ=(x_1,・・・ ,x_n) be the maximal ideal generated by the variables. Then the completion R_ｍ is the ring K[[x_1,・・・,x_n]] of formal power series in n variables over K. (引用終り) 以上 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/371

372: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 09:51:01.63 ID:sjIJjomh >>371 つづき で、本題（＾＾ ＜おちこぼれ達のための補習講座10＞ １．＜おちこぼれ達のための補習講座9＞にあるように、可算無限数列のしっぽによる同値類〜と代表との関係は、形式的冪級数環を、ある一つの形式的冪級数を代表として、そのしっぽ(指数の高い項の一致で)の同値類〜を考えることに同じ。 ２．同じ同値類の形式的冪級数二つ (第m+1項からしっぽが一致するとして) f =a0+a1*X+a2*X^2+a3*X^3+・・・+am*X^m+ am+1*X^m+1 +・・・ f'=a'0+a'1*X+a'2*X^2+a'3*X^3+・・・+a'm*X^m+ am+1*X^m+1 +・・・ f-f'= (注：多項式になる) (a0-a'0)+(a1-a'1)*X+(a2-a'2)*X^2+(a3-a'3)*X^3+・・・+(am-a'm)*X^m+ 0*X^m+1 +0*X^m+2 +・・・ なので、f-f'＝ΔP(X) とおくと f'＝f−ΔP(X) と表わすことができる ３．fを出題された数列に対応する形式的冪級数、f'を代表に対応する形式的冪級数とすると、決定番号dは d＝m＋1 つまり、多項式ΔP(X)の次数m プラス1になる ４．素人衆が間違っているのは、各列の決定番号 d＝m＋1を直接選べるように勘違いしているところだよ。選べるのは、多項式ΔP(X) ５．多項式ΔP(X)を選ぶ場合、例えば任意の２次多項式を選ぶことは、（係数が３つなので）３次元空間の１点を選ぶが如し。 　　つまり、任意の３次元空間の１点（a0,a1.a2）を選んだとき、確率１でa2≠0 であり、２次式が１次や０次に退化することはない（１次や０次は零集合） ６．同様に、m次の場合、m+1次元空間の１点を選ぶが如しで、確率１で、より低次元に退化することはない ７．さて、上記より、多項式環において多項式の次数の上限はないから、ある常数Dに対して、多項式環から選んだ100個の多項式の次数、d1,d2,・・・d100 がいずれもD以下になる確率は０ QED （これは、”無限”が分っていないと、理解できないだろうな。思うに、プロの目から見れば、ここらがネックで、真っ当な数学と認められないのではと思う今日この頃（＾＾ ） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/372

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