現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む45

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464: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/05(日) 17:52:57.58 ID:x0G6ptbz

>>455
> 　５）co-tail_trの定義：数列 co-tail_tr：＝∩(〜∞) A'[[X]]tr。
> 　　ここに、”∩(〜∞)”は、A'[[X]]trから作られる可算無限長数列において、
> 同値類U_trの全ての元にわたって、共通部分（積集合）を求めたもの

何を言ってるのか分からないです。
類の異なる2元x∈U_1、y∈U_2に対してx∩y＝φでよろしいですか？
同じ類に属する異なる2元a_1, a_2∈U_trに対してa_1∩a_2はどのように定義されているのですか？

異なる2元a_1, a_2∈U_trは
a_1＝ΔP_1(X)＋Σ(k＝m 〜 ∞）a_k*X^k∈U_tr
a_2＝ΔP_2(X)＋Σ(k＝m 〜 ∞）a_k*X^k∈U_tr
（ここでΔP_1(X)とΔP_2(X)のleading coefficientは異なる）
の形に書けますが、このとき
a_1∩a_2＝0＋Σ(k＝m 〜 ∞）a_k*X^k∈U_tr
という定義でよろしいですか？

以下、この定義でよいと仮定します。

a≡∩(〜∞) A'[[X]]trがU_trの元であると仮定すると矛盾します。
なぜなら、任意のU_trの元は自然数m_aとm_a−1次多項式ΔP_a(X)を用いて
a＝ΔP_a(X)＋Σ(k＝m_a 〜 ∞）a_k*X^k
の形に書けますが、自然数m_b＝m_a＋1とm_b−1次多項式ΔP_b(X)を用いた
b＝ΔP_b(X)＋Σ(k＝m_b 〜 ∞）a_k*X^k
もまたU_trの元であり、a≠a∩b。これはa∈∩(〜∞) A'[[X]]trに反します。

よってaはU_trの元ではありません。
しかし別の類Uの元でもありません。なぜなら任意のa_1∈U_trに対してa∩a_1＝aですが、
a∈U、a_1∈U_tr、U≠U_trですから定義よりa＝a∩a_1＝φとなるからです。
以上より∩(〜∞) A'[[X]]trはどの類にも属しません。
これは∩(〜∞) A'[[X]]trがいかなる冪級数でもないことを意味します。

>>455
> 　７）そして、co-tail が尚、「可算無限長」だということも、証明できるだろう（＾＾

何を言ってるのか分からないです。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/464

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