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不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
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973: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/15(土) 10:20:56.92 ID:iiLDF3is >>968-969、>>972 たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288. この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/973
974: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/15(土) 10:43:58.04 ID:iiLDF3is 最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/974
975: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/16(日) 13:25:07.42 ID:u7Il/9pT >>967 (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8. (2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144. (3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/975
976: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/16(日) 13:54:54.32 ID:u7Il/9pT 書き直し >>967 (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8. (2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144. (3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/976
977: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/16(日) 14:36:59.67 ID:6WIjEwcK >>976 これは一般化できそう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/977
978: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/16(日) 15:54:23.07 ID:u7Il/9pT >>976 また書き間違ってるな (2)の条件のところ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/978
979: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/16(日) 15:54:47.11 ID:u7Il/9pT もう一度書き直し >>967 (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8. (2) a,b,c,d>-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144. (3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/979
980: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/17(月) 06:11:59.37 ID:X9YWLOp7 〔予想〕 a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき ・n：奇数 (n≧5) ならば -(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1), ・n:偶数 ならば -2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2, 「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが… （不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/980
981: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/17(月) 15:34:10.00 ID:zsFrN7jo 第1章が2003年。 スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/981
982: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/17(月) 17:41:33.58 ID:X9YWLOp7 [初代スレ.019] いいよ！ [初代スレ.034] 正の数 a,b,x,y,X,Y に対して (axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3), (右辺) - (左辺) = (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2 + (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2 = (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX) + (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY) ≧ 0, (AM-GM) スッキリ。 [初代スレ.039] (参考書) 秋山 仁 + ピーター･フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov) p.24-25 [例4-3] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/982
983: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/17(月) 20:12:55.21 ID:zsFrN7jo 懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。 パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/983
984: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 03:40:20.65 ID:e1oKVpnI >>979 (1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。 a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、 0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8. １つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。 このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、 0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64. (証明終) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/984
985: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 07:27:44.02 ID:TqVGX/9j 〔補題〕 正の実数a,b,cに対して [1] (b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2, [2] a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2, (略証) [1] (左辺) - (右辺) = ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b)) = (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc}, (←コーシー) JMO-2004、[初代スレ.058] [2] もコーシーで出る。 なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと (ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA), (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC}, (類) Nesbitt-Igarashi >>627 >>835 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/985
986: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 18:31:13.09 ID:e1oKVpnI >>980 偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/986
987: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 19:23:44.68 ID:TqVGX/9j >>985 辺々たして… [3] (b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3, ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc. st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/987
988: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 19:41:13.00 ID:TqVGX/9j >>986 {-1,……,-1,2n-1} のとき (-1)^n･(2^n)(n-1)^2 {-1,…,-1,n-1,n-1} のとき - (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) かとオモタ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/988
989: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 21:15:32.22 ID:e1oKVpnI >>979 よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。 正しくは a,b,c≧-1など。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/989
990: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 21:42:52.76 ID:e1oKVpnI >>979 (1) a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』. A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40. う〜む、非同次は難しい。 s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120. これではダメか…。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/990
991: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 23:13:50.02 ID:TqVGX/9j >>990 (1) s, t, u で表わせば (与式) = (a+b)(b+c)(c+a) = (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3) = (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B) = -4(s/3)^3 + (2/3)st -u, (与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3, (与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/991
992: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 04:07:16.90 ID:K5b8go44 >>990の続きだけど、これで合ってるかな？ > (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8. > > a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は > 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』. > > A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40. s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3. これを証明する。 右側 ： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0. 左側 ： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/992
993: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:03:45.97 ID:5zoTD2o3 >>992 正解です！ なお、 st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0, s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)} ≧ 0, http://dic.nicovideo.jp/a/シューアの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/993
994: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:36:06.17 ID:K5b8go44 >>979 (2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/994
995: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:44:01.18 ID:5zoTD2o3 >>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994 続きは次スレで… ＿＿＿ .／ ≧ ＼ |:::: ＼ .／ | |::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ ヽ::::... .ワ....ノ n ￣￣ ＼ （ E） フ /ヽ ヽ_／／ [初代スレ.998] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/995
996: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:44:55.05 ID:5zoTD2o3 ﾊｧﾊｧ ∩ ( ⌒)＿ ∩_ _ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__ ／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ _n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | （ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! ＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／ [第5章.991] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/996
997: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:45:32.33 ID:5zoTD2o3 ＿＿＿ .／ ≧ ＼ 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！ |:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ |::::: (● (● | ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆ ＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ |＼￣￣￣￣旦￣＼ | |￣￣￣￣￣￣￣| ＼| 愛媛みかん | ￣￣￣￣￣￣￣ [第5章.996] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/997
998: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:46:20.72 ID:5zoTD2o3 "; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ l l " ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ / ,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ; ＼ ／ ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' ` ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;` " ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/ ヾゞ ` ` ` ` ` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` ` ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ＿＿＿ 秋の夜長に不等式 ` ` `, ` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／ ≧ ＼ ヾ从//" ` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ﾞ ` ヾ'./" |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. , ` |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~ ` ○○ | | , , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（ ）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, [前スレ.998] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/998
999: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:47:12.97 ID:5zoTD2o3 ＿| ::|＿ ￣| ::|／| ┌──┐ | ::| | .┌──┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･ ／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ ) |文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ） |￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο ::: | ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が | ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する ! | ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !! [前スレ.999] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/999
1000: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 06:48:05.42 ID:5zoTD2o3 ┏━━━┓ ┃ Q.E.D. ┃ ┗━┳━┛ ( ﾟ∀ﾟ) ノ [前スレ.1000] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/1000
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