[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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5(2): 2015/11/28(土)12:51 ID:novsUjda(2/29) AAS
ところで、前スレ 682より
私が、超越基底が分かっていないのだろうが
超越基底Sのそもそもは、二つ前のスレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
2chｽﾚ:math
564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 07:34:36.14 ID:ikZEN+WS [1/3]
>>562
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。
証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
（引用おわり）
から始まっているのだった
6(2): 2015/11/28(土)13:08 ID:novsUjda(3/29) AAS
>>5 つづき
>複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
これは、下記と同じ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
例
・拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
・Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
・Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。
（引用おわり）
「複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ」とか
「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）」
について
まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする）
私の理解は、前スレ674で書いたように
超越数全体⊂Q(S)⊂Rだと理解しているが、違う？
超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Rは当然、非加算で連続の濃度を持つ。
だから、間のQ(S)が、非加算で連続の濃度を持つ。
従って、基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
この理解で合っている？ 間違っている？（もちろん、合っていると思っているが）
16(2): 2015/11/28(土)15:50 ID:novsUjda(9/29) AAS
>>12-15
どこで、すれ違いになっているか分かってきたけど
１．>>5の”複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。”ってことを良く考えてみて
２．この超越基底Sは、単なるQ上超越拡大にあらず。複素数体Cに対する超越基底Sだと。だ か ら、Sは非可算濃度を持つってこと
で個別レス
>>13
>その操作は可能だけど、それが超越基底になるとは限らない。
>なぜならSの代数的独立性が保証されないから。
では、それがSから代数的独立性な数だとした？ それは、Sに付け加えるべきだろ？
代数的独立性は加える必要なく、代数的独立性で取りこぼしがある数は、Sに付け加えるべき。それが定義だろ
>>14
Q上超越次数が有限の超越拡大の場合、それに含まれない超越数は当然存在する
しかし、Q(S)はすべての超越数を含む。それが定義だから
>>15
>これと同様に、あるQ上の超越数xがQ(S)に含まれていなくても、
>Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。
>逆にxをSに加えてしまうとSの代数的独立性が失われるのでSは超越基底にならなくなってしまう。
勘違いしていると思う
Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。なぜなら、その数は本来Q(S)に含まれている数だ
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