[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)

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6: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/28(土) 13:08:10.11 ID:novsUjda >>5　つづき >複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。 これは、下記と同じ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0 例 ・拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。 ・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。 ・Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。） ・Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。 （引用おわり） 「複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ」とか 「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）」 について まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする） 私の理解は、前スレ674で書いたように 超越数全体⊂Q(S)⊂Rだと理解しているが、違う？ 超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Rは当然、非加算で連続の濃度を持つ。 だから、間のQ(S)が、非加算で連続の濃度を持つ。 従って、基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。） この理解で合っている？　間違っている？（もちろん、合っていると思っているが） http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/6

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