[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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52(2): 2015/10/16(金)09:29 ID:q0g452AG(1/5) AA×
>>45>>3
53(4): 2015/10/16(金)12:10 ID:q0g452AG(2/5) AAS
>>43
>>47
確かに>>39などの文章「だけ」では間違いになるが、39の考え方は使える。
(1)：39では、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の1次元の連結な加法部分群の、全体の、場合になる。それだから、
(2)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の直線上の不連結な加法部分群の、全体の、場合を考えればいい。
(2-1)：この場合は、はじめに、加法群R上の不連結な加法部分群全体A_1の濃度card(A_1)を、求めればいい。
濃度がcard(R)＝cなる加法群Rの不連結な加法部分群を考えているから、A_1の群Gを任意に取ると、
任意の点a∈G(,R)の閉包は1点aからなる空間{a}⊂Rになることに着目すると、加法群の定義とA_1の定義から、
card(A_1)＝c になる。これは、A_1からRへの全単射が存在すること、換言すれば、
任意の群G∈A_1が、G＝{na|n∈Z, aは直線R上の或る定まった1点} と表せることから分かる。
(2-2)：で、次に、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、場合、を考えればいいが、この場合の濃度は、39と同様に考えれば、
(2-1)から、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度は、(2^{ℵ_0})^2＝c^2＝c と分かる。
(3)：あとは、Cの加法部分群全体の、平面C上の、2次元の連結な加法部分群全体の場合は、平面Cに限られて、濃度は1。
従って、(1)〜(3)から、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。
大雑把過ぎるだろうが、上のように考えればいい。
54(1): 2015/10/16(金)14:29 ID:q0g452AG(3/5) AAS
>>45
>>52の最後の
>実数体Rの濃度はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分の「実数体Rの濃度」は「実数体Rのベキ集合の濃度」の間違いな。
このことは、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日の日曜に来るわ。
55: 2015/10/16(金)14:41 ID:q0g452AG(4/5) AAS
>>45
あ〜、>>54の訂正については取り消しで、正しくは、>>52の最後の
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分は、
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、「実数体Rのベキ集合の濃度」
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(「Rのベキ集合」) といっている。
と訂正な。何れにしろ、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日な。
56: 2015/10/16(金)15:45 ID:q0g452AG(5/5) AAS
>>45
まあ、正確には「card(U)＝card(「Rのベキ集合」) 」は「card(「乗法群C^*の部分群全体」)＝card(「Rのベキ集合」) 」だな。
U⊂乗法群C^*の部分群全体⊂C^*のベキ集合A で、card(U)≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦card(A) だから、
card(A)＝card(U)＝2^c から 2^c≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦2^c で、ベルンシュタインの定理から
card(乗法群C^*の部分群全体)＝2^c が従うと。まあ、>>3では、暗にそういうことをいっている。日曜まで、そんじゃね。
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