[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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1(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/20(土)07:34 ID:w8s6oXPV(1/9) AAS
旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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533: 2015/08/13(木)10:15 ID:YNbcLEHA(2/5) AAS
いやいやｗご謙遜をｗ
534: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/13(木)10:21 ID:4fDg4Ogv(9/11) AAS
ユークリッド環とは？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学の特に抽象代数学および環論におけるユークリッド整域あるいはユークリッド環とは、「ユークリッド写像（次数写像）」とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。
この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんどど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。
特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される（ベズー恒等式）。
また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル（つまり、単項生成）であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。
ユークリッド環のクラスをより大きな主イデアル環 (PID) のクラスと比較することには大いに意味がある。
勝手な PID はユークリッド環（あるいは実際には有理整数環を考えるので十分だが）と多くの「構造的性質」を共有しているが、しかしユークリッド環には明示的に与えられるユークリッド写像から得られる具体性があるのでアルゴリズム的な応用に有用である。
特に、有理整数環や体上一変数の任意の多項式環が容易に計算可能なユークリッド写像を持つユークリッド環となることは、計算代数において基本的に重要な事実である。
そういったことから、整域 R が与えられたとき、R がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。
特に、そのとき R が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が「明らか」でないときに R が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 正規環 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数学において単項イデアル整域（主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。
535: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/13(木)10:28 ID:4fDg4Ogv(10/11) AAS
つづき
ああ、この性質”整域 R とその上のユークリッド函数 f について””R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。”か
[12]^ Fraleigh & Katz (1967), p. 377, Theorem 7.4 だと
まあ、ＵＲＬ原文と、[訳語疑問点]とあるから英文版と、[12]の文献か類似文献、それに例があがっているから、例を考えてみたらどうですか？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
性質
整域 R とその上のユークリッド函数 f について：
R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。
ここから R が一意分解環かつネーター環でもあることが帰結される。
一般の主イデアル整域に比べ、分解の存在性（つまり R が分解不能整域[訳語疑問点] (atomic domain) であること）は、ユークリッド環の場合には特に容易に示せる。
ユークリッド函数 f を (EF2) を満たすように取り、x は f(x) 個よりも多くの非単元因子に分解できないものとして、x から繰り返し既約因子に分解していけば、必ず既約元への分解が得られる。
536(1): 2015/08/13(木)10:31 ID:YNbcLEHA(3/5) AAS
＞ああ、この性質”整域 R とその上のユークリッド函数 f について””R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。”か
そうです。ここがわからないんです。なんでこういう性質になるんですかね。
537: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/13(木)10:37 ID:4fDg4Ogv(11/11) AAS
>>526-527 補足
>>526
α＝β＝√２、γ＝（１＋√−５）／√２、δ＝（１−√−５）／√２
だな
ところで、>>527から
A = 2R + (1 + √5 i )R vs √２
B = 2R + (1 - √5 i )R, vs √２
C = 3R + (1 + √5 i )R, vs （１＋√−５）／√２
D = 3R + (1 - √5 i )R vs （１−√−５）／√２
となるんだろうね・・・
538(2): 2015/08/13(木)11:02 ID:HolOcI9x(1) AAS
>>536(>>531)
Rをユークリッド整域とする。Rの零元を0で表わす。RのI≠(0)なるイデアルIを任意に取る。
Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
b∈Iを任意に固定する。Rはユークリッド整域であり、Nは自然数全体だから、
ユークリッド整域の定義から、両方共に或るq,r∈Rが存在してb＝qa+r、r≠0またはδ(r)＜δ(a)。
しかし、r≠0とするとδ(r)＜δ(a)となり、r＝b-qa∈Iだから、δ(a),a∈I＼{0}が最小と仮定したことに反する。
従って、r＝0であって、δ(r)は定義されず、b＝qa+r＝qa+0＝qaを得る。
aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで、qa∈(a)だから、b∈(a)。
Iの元bは任意だったから、I⊂(a)。ここで、仮定から、I⊃(a)。従って、I＝(a)。
RのI≠(0)なるイデアルIは任意に取っていたから、Rの任意のイデアルは単項イデアルである。
従って、定義から、ユークリッド整域は単項イデアル整域である。
539: 2015/08/13(木)11:46 ID:YNbcLEHA(4/5) AAS
＞Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね？
なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。
自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
でも、ありがとうございました。なんとなくわかったかもです＾＾
540(1): 2015/08/13(木)11:54 ID:1z8vHQ0i(1) AAS
この程度の奴でも数学やるんだな
541(1): 2015/08/13(木)11:56 ID:YNbcLEHA(5/5) AAS
＾＾；
サーセンｗｗ
542(1): 2015/08/13(木)14:59 ID:xBgmYnaS(1) AAS
>>532
代数入門の必須内容を難しいと思うということは、代数入門をすっ飛ばしていきなりガロア理論やったの？
543(1): 2015/08/14(金)00:40 ID:d8aNhaKp(1) AAS
何も分かってなくてもコピペくらいならできるからな
544(1): 2015/08/15(土)09:43 ID:oFhU3AyR(1) AAS
土曜日なのにスレ主さんが来ない・・・
545: 2015/08/15(土)20:02 ID:n1b9UPzl(1) AAS
コピペの始まりは、土日の始まり
546: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)20:08 ID:BibK/cXU(1/13) AAS
>>544
どうも。スレ主です。
旅に出ていました。はい
547: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)20:20 ID:BibK/cXU(2/13) AAS
>>542-543
サーセンｗｗ（＾＾：
難しいというより、ユークリッド環は初耳
つーか、環論あまりやってないってのが正直な話です
これから勉強します、はい
でもね。「代数入門の必須内容」の定理は未証明では。だから、ID:xBgmYnaS予想。でも、容易に反例が見つかりそうですね（「代数入門」でユークリッド環を扱っていない本が一つあれば良いのだから）
だから、「代数入門をすっ飛ばして」ではないんだよね。かつ、代数方程式のガロア理論には、ユークリッド環は必須ではないと思うのだが
>何も分かってなくてもコピペくらいならできるからな
この定理はトリビアル（ほぼ自明）
だが、ある話題Ａに対して、あるコピペＢをしたときに、１）コピペＢが適切かどうか ２）２ＫＢ制限の中でＵＲＬなどから適切に抜粋されているか
そこらが、コピペする人のセンスが出るんだよね
548: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)20:41 ID:BibK/cXU(3/13) AAS
>>540-541
外部ﾘﾝｸ[html]:kotowaza-allguide.com
聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥 - 故事ことわざ辞典
(引用おわり)
むかーし読んだ話で、外国（米？）の大学では、結構初歩的な質問でもどうどうとするとか。教える側も丁寧に教えるとか
グロタン先生も、結構初歩的な質問をして、おまいら答える義務があるという態度だったとか
これも米だったと思うが、ある質問魔の学生がいて、それがぐんぐん伸びて立派な数学研究者になったとか
読んだ記憶がある
実際質問すると、記憶に残るし
質問に教えてあげると、もっと記憶に残るんだ（＾＾；
549(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)21:00 ID:BibK/cXU(4/13) AAS
>>454>>471
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)
これ、旅の行き帰りに読みました
面白かったです
全体的にめちゃ面白い。おすすめです
が、一点おかしいところがある
P188『「層」という一九八〇年代に発見された数学』
P188「層は、一九八〇年代にウラディーミル・ドリンフェルトによって提唱された概念である。」
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
青木 薫（あおき かおる、女性、1956年 - ）は、翻訳家。
山形県生まれ。京都大学理学部卒業、1984年同大学院博士課程修了、「原子核間ポテンシャルのパリティ依存性及び角運動量依存性に関する微視的研究」で理学博士。
専門は理論物理学。2007年度日本数学会出版賞受賞。
550(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)21:11 ID:BibK/cXU(5/13) AAS
>>549 つづき
ところで
P383『父はこれまでの話を読んで、「内容を詰め込みすぎだ」と言った。』
「確かに本章では、ヒッチン・モジュライ空間、ミラー対称性、Ａブレーン、Ｂブレーン、保型層といった概念が登場した。」
著者エドワード・フレンケルの父って・・・、なにものだ・・・
551(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)21:18 ID:BibK/cXU(6/13) AAS
>>550 つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Edward Frenkel
Mathematical work
Jointly with Boris Feigin, Frenkel constructed the free field realizations of affine Kac?Moody algebras (these are also known as Wakimoto modules),
defined the quantum Drinfeld-Sokolov reduction, and described the center of the universal enveloping algebra of an affine Kac?Moody algebra.
The last result, often referred to as Feigin?Frenkel isomorphism, has been used by Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld in their work on the geometric Langlands correspondence.
Together with Nicolai Reshetikhin, Frenkel introduced deformations of W-algebras and q-characters of representations of quantum affine algebras.
Frenkel's recent work has focused on the Langlands program and its connections to representation theory, integrable systems, geometry, and physics.
Together with Dennis Gaitsgory and Kari Vilonen, he has proved the geometric Langlands conjecture for GL(n).
His joint work with Robert Langlands and Ngo B?o Chau suggested a new approach to the functoriality of automorphic representations and trace formulas.
He has also been investigating (in particular, in a joint work with Edward Witten) connections between the geometric Langlands correspondence and dualities in quantum field theory.
つづく
552(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)21:24 ID:BibK/cXU(7/13) AAS
>>551 つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Edward Frenkel
Love and Math: A Mathematical Memoir
Frenkel's book Love and Math: The Heart of Hidden Reality was published in October 2013.[2]
It was a New York Times bestseller[11] was named one of the Best Books of 2013 by Amazon and iBooks, and was the 2015 winner of the Euler Book Prize.[12]
In a review published in The New York Review of Books,
Jim Holt called Love and Math a "winsome new memoir" which is "three things: a Platonic love letter to mathematics; an attempt to give the layman some idea of its most magnificent drama-in-progress;
and an autobiographical account, by turns inspiring and droll, of how the author himself came to be a leading player in that drama.”[13]
The New York Times review called the book "powerful, passionate and inspiring."[14]
Keith Devlin wrote in The Huffington Post: “With every page, I found my mind's eye conjuring up a fictional image of the book's author,
writing by candlelight in the depths of the Siberian winter like Omar Sharif's Doctor Zhivago in the David Lean movie adaptation of Pasternak's famous novel.
Love and Math is Edward Frenkel's Lara poems... As is true for all the great Russian novels,
you will find in Frenkel's tale that one person's individual story of love and overcoming adversity provides both a penetrating lens on society and a revealing mirror into the human mind.”[15]
抜粋おわり
553: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)21:27 ID:BibK/cXU(8/13) AAS
>>552
"It was a New York Times bestseller[11] was named one of the Best Books of 2013 by Amazon and iBooks, and was the 2015 winner of the Euler Book Prize.[12]"
か・・・
こんな難しい本がね〜
554(1): 2015/08/15(土)22:32 ID:CRUPVEKQ(1) AAS
初耳だから容易に反例が見つかると？頭悪すぎ
555: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)22:33 ID:BibK/cXU(9/13) AAS
新スレ立てたので、あとはこちらで
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
2chｽﾚ:math
556: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)22:33 ID:BibK/cXU(10/13) AAS
>>554
自分の持っている本が全てだと思っているのか？
557(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)22:59 ID:BibK/cXU(11/13) AAS
>>538
どうも。スレ主です。
類似の証明が落ちていました・・
外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
corollaryの数学日記 <[代数学] ユークリッド整域 (ユ... | [代数学] 単項イデアル整域>
01-26-2013 単項イデアル整域
■[代数学] ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル整域
Rをユークリッド整域、I ≠ (0)をRのイデアルとし、Iの0でない元aをφ(a)が最小となるようにとる。
b∈ Iを任意にとる。
仮定よりRはユークリッド整域なので
b=aq+r
r≠ 0またはφ(r) < φ(a)
を満たすq,r∈ Rが存在する。
ここでr≠ 0とすると、φ(r) < φ(a)となるが、これはr=b-aq ∈Iよりaの最小性に反する。
従って、r=0である。
よって、b=aq∈(a)となり、I=(a)が示せた。
代数系入門
作者: 松坂和夫
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 1976/05/27
558(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)23:03 ID:BibK/cXU(12/13) AAS
>>557 つづき
”b=aq+r
r≠ 0またはφ(r) < φ(a)”
ここね
”b=aq+r
r＝0 またはr≠ 0かつφ(r) < φ(a)”
が正解じゃないでしょうか？（>>538に同じ）
559: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/15(土)23:04 ID:BibK/cXU(13/13) AAS
あとは新スレで
560: 2015/08/15(土)23:14 ID:l5BiiSrC(1) AAS
>>557
逆
君が自分の主張を正当化したいなら、その証明が乗ってない代数入門書を探しなさい
>>558
これだから教養の無い人は困る
φの定義を確認しなさい
561: 『佳子様』の『秘密』を『暴露』 [age] 2015/08/20(木)21:59 ID:2mI8wqKu(1) AAS
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Σ(Д・;)"プチエンジェル事件"！(小学生売春事件)
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プチエンジェル事件に隠された日本の闇を暴露する！
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検索⇒『佳子様 真子さま kare氏』
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※上記で検索しますと、１ページ目の５番目以内に、
〔懇約】秋條宮家の佳子様と･･･････
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑が表示されます。
※世の中、知らない方が良い事もあるんです・・・。
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ｈ外部ﾘﾝｸ:matｏmｅ.ｎａvｅr.jｐ/oｄａi/2143960880970769001
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562: 2015/08/20(木)22:01 ID:dzi0fD1q(1) AAS
土日はまだだよ
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ぬこの手 ぬこTOP 0.300s*