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347: 2020/04/14(火)18:46 ID:zlFVoIoI(1) AAS
以下、某所の行間を埋めたもの

g_{k}(x)={h(k+1) x- h(k)}/{h(k) x - h(k-1)} ただし、h(k)=sin(kπ/n)　とすると、

g_1(x)= {h(2) x - h(1)}/{h(1) x - h(0)}
= {sin(2π/n) x - sin(π/n)} / {sin(π/n) x}
= 2cos(π/n) - 1/x = F(x)
ところで、g_{k}(x)を、g_1(x)に入れると、
g_{1}(g_{k}(x))
= 2cos(π/n) - {h(k) x - h(k-1)}/{h(k+1) x- h(k)}
={2cos(π/n) h(k+1) x -2cos(π/n) h(k) - h(k)x + h(k-1)}/{h(k+1) x- h(k)}
={{2cos(π/n) sin((k+1)π/n) - sin(kπ/n)}x - 2cos(π/n)sin(kπ/n) + sin((k-1)π/n)}/{h(k+1) x- h(k)}
={sin((k+2)π/n) x - sin((k+1)π/n)}/{h(k+1) x- h(k)} ∵sin((k+2)π/n)+sin((k)π/n)=2cos(π/n)sin((k+1)π/n)　等
=g_{k+1}(x)
数学的帰納法から、xにg_1をk回施した g_1(g_1(...(x)...)) は g_{k}(x)に等しい事が示される。

g_1(x)=F(x)なので、
F^{n}(x)=g_{n}(x) ={h(n+1) x- h(n)}/{h(n) x - h(n-1)}
={sin((n+1)π/n) x} / {-sin((n-1)π/n)}=x

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