[過去ﾛｸﾞ] 関数解析 [転載禁止]©2ch.net (477ﾚｽ)
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337: 2020/02/03(月)06:26 ID:r6ms6JJ1(1/3) AAS
〔レヴィの方程式〕
x,y,zは実変数、f(z)は実関数だが解析的でないとする。
u(x,y,z) に関する１階線型偏微分方程式
　(∂u/∂x) + i(∂u/∂y) +2i(x+iy)(∂u/∂z) = f(z)
はC^1級の解をもたない。
(略証)
Hans Lewy (1958)による。
　もしもこの方程式がC^1級の解uをもてば、右辺のfは必然的に解析関数でなければならない。
したがって、もしも右辺のf(z)がC^∞級であっても解析的でなければ、C^1級の解をもたない。(終)

数セミ増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社, p.69 (1989)

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338: 2020/02/03(月)06:29 ID:r6ms6JJ1(2/3) AAS
シュレディンガー方程式
　i h' (∂Ψ/∂t) = ＨΨ
は一般には実数解をもたず、複素数 or 2元ヴェクトルに広げないと解けない。

ディラック方程式
　i h' (∂Ψ/∂t) = -i h' c γ0 {γ1(∂/∂x) + γ2(∂/∂y) + γ3(∂/∂z) + (mc/h')}Ψ
は一般には複素数解をもたず、４元数 or 4元ヴェクトルまで広げないと解けない。

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339: 2020/02/03(月)18:40 ID:r6ms6JJ1(3/3) AAS
特殊相対論では
　(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2,
4元運動量をｐとすれば
　Σ[j,k] η_jk p_j p_k = (mc)^2,
ここに
　η_00 = 1,　η_11 = η_22 = η_33 = -1,
　η_jk = 0　　(j≠k)
である。左辺が
　（Σ[j] γj pj)(Σ[k] γk pk)
の形に分解する条件は
　γj γk + γk γj = 2ηjk
γが実数、複素数ではこれを満足しない。
γが４元数のとき
　γ_0 = [[I, O] [O, -I]]
　γ_k = [[O, σk] [-σk, O]]
とする。ここに σはパウリのスピン行列で
　σ1 = [[0, 1] [1, 0]]
　σ2 = [[0, -i] [i, 0]]
　σ3 = [[1, 0] [0, -1]]
　σjσk + σkσj = 2δjk I
　　σ × σ = 2iσ,
　{1, -iσ1, -iσ2, -iσ3} は4元数体Hの基底。

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