[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 [転載禁止]©2ch.net (818ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
1(7): 2015/02/15(日)08:46 ID:wOLNHI5U(1/24) AAS
旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2chｽﾚ:math
（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）
789(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)05:33 ID:5o4dQmCs(2/9) AAS
>>787 難しく考えすぎだろ。
１．>>436で、「２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう」と宣言してある
そして、その前提での>>442「逆の包含を言ってないってことか？」だった
それに対して、>>681 岡山大吉野雄二（正確には）の証明を示したところ、>>685「引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」が使われている。」だった
最初から最後まで、「N=gNg^-1」 or 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」の話だよ
２．そして、数学的帰納法は公理であって定理ではない。共役変換に限定されない
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学的帰納法の形式的な取り扱い
ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。
つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。
３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
（超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）
４．帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、そりゃあるだろうよ
というか、その話は686の最後とか、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ（まだ考えてないが）
５．最後に、”ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならない”は、その通りだろう
が、それは数学的帰納法の公理から外れる例だろうさ。例えば、785の位相が必要だとか。例えばcard(N)みたく有限と無限で定義が異なるとか
790(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)06:06 ID:5o4dQmCs(3/9) AAS
>>789 補足
帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ
>>725より引用
ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1
（引用おわり）
だったね
ここで、ker(f)→Nに置き換えれば、そのまま証明に使えるだろう
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
以下で” N⊂gNg^(-1) (∀g∈G)”を示す
a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
ゆえに、N=g・N・g^-1 QED
わざわざ、「俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない」というほどのこともない
(なお、繰り返すが>>686の最後に同じことは書いてある)
本質は、共役変換だよ
791(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)06:34 ID:5o4dQmCs(4/9) AAS
いいかい
>>686、>>726、>>743が、共役変換の本質なんだ
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、有限群に限れば、ほぼ自明だ（∵gNg^(-1)はNと同型で、何より位数（=card(N))が等しいのだから）
そして、数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。
だから、「gNg^(-1)はNと同型」を知識として知っていれば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明のように、わざわざ逆の包含をいうほどのこともないということなのだろう
なお、試験問題なら、（∵gNg^(-1)はNと同型で、位数（=card(N))が等しいから、有限群に限ればN=gNg^-1が成り立つ。無限群の場合は、数学的帰納法による。）と書くか、>>790みたく ”∵a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1”か
時間があるなら、どちらかを書くべきだろう
しかし、数学の学習の理解としては、後者だけでなく前者も必要だよ
792(2): 2015/04/05(日)06:53 ID:X55sT+uM(1/3) AAS
＞だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？
＞反対するなら、はっきり理由を述べよ
∞∈/Nだからダメ
数学的帰納法の主張は、「n∈Ｎ⇒P(n)は真」であって、「P(∞)は真」ではない。
スレ主は見識が狭い。wikiに書かれていることが全てと思ってる。
（wikiは誰でも編集できてしまうということをお忘れなく）
俺は数学的帰納法が定理として証明されることを知っている。
（その立場では、自然数の公理も不要。必要なのは実数の１７個の公理のみ。）
別に公理にしたければしても構わないが、俺は好かん。公理が少ない体系ほど美しいと思っているから。
793(2): 2015/04/05(日)07:54 ID:X55sT+uM(2/3) AAS
>>778
スレ主さん、超限帰納法を理解できてて言ってる？
（その前に整列定理を理解できてるかも怪しいが）
もし理解できているなら実際に超限帰納法を使って証明してみて
コピペを貼ることと理解できてることは全く違うよ
794(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)10:37 ID:5o4dQmCs(5/9) AAS
>>792-793
なかなか出題者さんは、レベルが高いね
あなたのレベルの高さには感心するよ
数学的には、あなたのお説の通りさ
だが、問題の証明レベルなら、>>790に書いたごとく既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
もっと言えば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルなら、>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
ただ、そのときの共役に対する理解が浅かったから、>>789-791のような説明が出来なかっただけ（＾＾
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」（N＝ker(f)）は440で示したから
後は、私>>686と貴方>>725が書いた”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだ
この共役変換の１行が全て
この１行は、ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよしだ
共役変換の本質は同じだ
だがね、前にも書いたように、”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”ですっと流すと、共役変換の本質が見えてないだろうと
共役変換の本質は、集合なら一対一対応であり、群であれば同型なんだよね
そして、その知識があれば、有限群に限れば、「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を示した時点で、gNg^(-1) ＝ N は自明なんだよね
さらに、共役変換の本質を理解していれば、無限群でもほとんど同じだ
それが、私の感性だ
795(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)11:07 ID:5o4dQmCs(6/9) AAS
せっかくの出題>>417だったから、あとwell-definedについてまとめておこう
１）どなたかが書いてくれたが>>543「well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。」
「複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。」と
２）それが、商集合という概念
>>566酒井克郎 筑波大学 外部ﾘﾝｸ:docs.google.com
「商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切」
「何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.」
「考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
３）ご存知雪江明彦先生>>550 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tohoku.ac.jp
「代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.」
796: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)11:28 ID:5o4dQmCs(7/9) AAS
>>795 つづき
４）well-defined
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org >>423 抜粋
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, an expression is well-defined if it is unambiguous and its objects are independent of their representation. More simply, it means that a mathematical statement is sensible and definite.
In particular, a function is well-defined if it gives the same result when the form (the way in which it is presented) is changed but the value of an input is not changed.
５）あと、同値関係と商集合
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは、2 つの対象が "ある意味で" 同じである、あるいは同一視できるという関係を一般化した概念である。
ある集合 S において、二項関係 〜 が次の性質を満たすとき、〜 は S の同値関係であるという。
反射律: a 〜 a
対称律: a 〜 b → b 〜 a
推移律: a 〜 b ∧ b 〜 c → a 〜 c
上の3項をまとめて同値律という。〜 が同値関係であるとき、a 〜 b であることを、a と b は同値であると言い表す。
（商集合の説明があるが、省略します。直接URLを開いてください）
797: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)11:38 ID:5o4dQmCs(8/9) AA×
>>798>>549
798(2): 2015/04/05(日)12:04 ID:jwP/UdlD(1/2) AAS
出題者です。
>>792>>793は出題者は別人です。
＞「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
＞以下で” N⊂gNg^(-1) (∀g∈G)”を示す
＞a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
＞
＞ゆえに、N=g・N・g^-1 QED
はい、よくできました。
>>686はなんかそれっぽいことが書いてあるなーと思ったけど
＞また、g^-1(gng^-1)g→nの形から
が意味不明だったし、もう面倒で>>721で終わらせるつもりだったからスルーした。すまない。
数学的説明をせずに本質がどうのうこうの言ってるだけじゃ何も伝わらない。
まずはきちんと数学的な説明を書いて納得させないと。
逆の立場だったらそうだろう？
799(1): 2015/04/05(日)12:12 ID:jwP/UdlD(2/2) AAS
>>722>>723は別人だけど、意見は同じ。
帰納法を使っても無限群に対しては証明できない。
「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」と自分でも書いてるじゃないか。
∞は自然数でないので対象外。
そもそも帰納法ってのは、
・最小元で成り立つ
・ある元 a に対し、a より小さい全ての元で成り立つなら、a でも成り立つ。
という形の証明だけど、そんな行為一度だってしてない。
「難しく考えすぎ」ってスレ主が帰納法なんて関係ないことを書いたせいだろう。
ちなみに>>725も俺じゃない。ID見れば分かるけど、あなたが貶していたID:/kdxB2Ufさんだよ。
800(2): 2015/04/05(日)12:14 ID:X55sT+uM(3/3) AAS
>>789
命題「群 G の部分群 N と ∀g∈G に対し、N⊂gNg^-1 なら N=gNg^-1」
を超限帰納法を使って証明して下さい。
「超限帰納法も、ことは単純で」と言ったのは君だから、当然できるはずだよね？
＞３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
＞ 任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
＞ （超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）
801: 2015/04/05(日)13:14 ID:CBD9FLtF(1) AAS
>>800
自然数の場合の帰納法、整列性の概念すらちゃんと分かってないやつに出来るわけないだろw
802: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/05(日)14:11 ID:5o4dQmCs(9/9) AAS
>>798-800
出題者さん、ども
次から新スレへ行きましょう
皆さん、ほんとレベルが高いね。感心するよ
論点整理をしよう
１．まず確認だが、>>794で有限群の場合は良いんだよね？
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が、共役変換の本質：「集合なら一対一対応であり、群であれば同型」から従う
２．無限群についても、共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだと。
３．共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を使って、”ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよし”だ
４．だから、>>417の問題(1) は、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルで可だ。
５．それは>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
６．但し、「N=gNg^-1」を使ったから、逆の包含についての説明か証明が必要だということになった。
それも既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
７．だから、数学的帰納法を持ち出して混乱させたが、>>417の問題(1) は既に終わっているし、共役変換の本質の理解と説明も間違っちゃいないだろ
８．但し、数学的帰納法と超限帰納法については、意見が一致していない
数学的帰納法と超限帰納法については、新スレ（下記）でやろう
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
2chｽﾚ:math
803: 2015/04/07(火)12:29 ID:Z+g58olw(1/2) AAS
本格的にトンデモに育ってきたなw
804(1): 2015/04/07(火)12:34 ID:Z+g58olw(2/2) AAS
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者から見たら笑止千万すぎるもんな威張りながら教わろうとはｗ
805: 2015/04/07(火)13:44 ID:NwxyNtnn(1) AAS
何を言う。
スレ主は王道を行っとる。
金払って威張り散らす腐れ教員に頭を下げるなど以ての外。
金払をもらったのならその分働け。
分かるように学生様に分かりやすく説明しろ。
教えたく無いなら、教える必要のない研究職につけ怠け教員。
806: 2015/04/09(木)03:29 ID:nTN786wm(1) AAS
国公立の学生は国民納税者に学費を税金経由でたかって学問収めさせてもらってる乞食なのだから国民納税者にひざまずけ
807: 2015/04/09(木)19:03 ID:K8KMCiFa(1) AAS
べき根で表せない解って具体的にどんな形をしてるの？
三角関数がうにょうにょした感じってイメージであってる？
808: 2015/04/09(木)19:16 ID:sC/9Vs45(1) AAS
それは超越解では
809: 2015/04/09(木)23:20 ID:+fXi7TzJ(1) AAS
テータ函数使えば，任意の代数方程式の解は書けるから
「三角関数がうにょうにょした感じ」でイメージはあってるなｗ
810: 2015/04/10(金)06:30 ID:8XLHEbVF(1) AAS
>>804
数学科の猛者を自称する幼稚園のすうがく組？
「上から目線、上から目線。あいつやっつようぜ。よし、おまえ行け」
811: 2015/04/10(金)08:43 ID:OjdOUtND(1/2) AAS
幼稚園にも上がれない大きな赤ん坊がスレを立ててるのを見るとなあw
812: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/10(金)23:19 ID:PTxulp5P(1/2) AAS
どうも。スレ主です。
813: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/10(金)23:22 ID:PTxulp5P(2/2) AAS
>>803-811
ご高説ありがとう
では、問題だ。>>517をお願いします。
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者さまですか
さぞかし簡単でしょうね（笑い）
814: 2015/04/10(金)23:39 ID:OjdOUtND(2/2) AAS
だいたい基礎論持ってくる事態がお門違いというか。トンデモって基礎論大好きだからな
815: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/11(土)05:48 ID:pLE9DoNh(1) AAS
どうも。スレ主です。
別に証明しろとは言っていない
「どう思いますか？」と、君の数学的センスを聞いているんだよ（笑い）
816: 2015/04/11(土)17:11 ID:osSnm/+q(1) AAS
基礎論厨の人の発言が「数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど」
そしてこのスレ主である。基礎論はなんか真面目にやってても不真面目なのがやっててもアレだなあ。
817: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/04/12(日)19:30 ID:IFDb2ZM+(1) AAS
どう思うと聞いているだけなんだけどね
だが、それに答えると、てめえの数学レベルがばれる
そういう仕掛け
ただそれだけだ
基礎論もくそも
無関係だよ
818: 2015/04/13(月)03:16 ID:JBpqW1sO(1) AAS
低レベルが激おこかw
まあ、うんこ同士仲良くしろやwww
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.261s*