現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止]©2ch.net

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794(1): 2015/02/14(土)07:47 ID:4dGjuo/v(1/42) AAS
>>757 >>762
どうも。スレ主です。
「いい質問ですねぇ!」(池上語録より)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
池上彰かつてはNHKで、社会部記者やニュースキャスターを歴任。記者主幹だった2005年で退職したことを機に、フリーランスのジャーナリストとして各種メディアで活動している。

ニュース解説で多用する「いい質問ですねぇ!」は2010年、ユーキャンの主催する「新語・流行語大賞」の上位10位入りした[49][50][51]。
池上によると、この言葉が使われるケースは2つあり、1つは番組の流れ上、本来解説したい話題から離れてきている時に、本筋に戻せるような質問がされた時。
もう1つは、質問そのものによって、池上自身がそのニュースに対しての認識を新たにする場合である[42]。
梶原しげる（文化放送出身のフリーアナウンサー）も、「素朴な疑問を投げかけてくれた聞き手への感謝の言葉である」と分析している[52]。

795(3): 2015/02/14(土)07:50 ID:4dGjuo/v(2/42) AAS
つづき
>>757 >>762 は、>>338に書いた”2005年度代数学1 (数学3, 4年) 講義録pdf (群論の基本事項) P5定義2.4.の右作用による剰余類分類 ”ですね

796: 2015/02/14(土)07:54 ID:4dGjuo/v(3/42) AAS
つづき

数学篇を是非買って読んでください。良い本ですよ
外部ﾘﾝｸ[html]:booklog.kinokuniya.co.jp >>155
2013年12月28日『ガロアの時代ガロアの数学』時代篇＆数学篇彌永昌吉丸善出版

797(1): 2015/02/14(土)08:05 ID:4dGjuo/v(4/42) AAS
つづき

数学篇にあるガロア原論文P238、ガロアはガロア分解式を使って、根の置換を定義している
「ガロア記法によるガロア群の元とV,V',V''・・とが１対１に対応していることになる」>>735
これが、ガロアが1830年ころに見ていた風景
その解説が、数学篇にある

ガロア原論文の命題III
定理方程式は補助方程式のすべての根を添加すれば命題IIで述べた群はおのおのの群がみな同じとなるというもう一つの性質を持つ
証明は容易に見いだされるであろう

これが、ガロアの創出した正規部分群の概念。（ここがガロア原論文の一番のきもといわれる）
「証明は容易に見いだされるであろう」は、ガロア語録として有名（とスレ主は思っている）

798(1): 2015/02/14(土)08:30 ID:4dGjuo/v(5/42) AAS
つづき

数学篇P265に命題IIIの解説がある
補助方程式のすべての根を添加することは、Kとkの中間体の中で、kのガロア拡大になるもとを選ぶことに他ならない。
それに対応するガロア群Gの部分群は正規部分群Nである。
G/Nの元τN（但しτ∉N）に属する置換、τ、τσ*)を、与えられた方程式f(x)の根α,α1,α2・・・,αnの置換で表すと
（注*)σ∈Nと思います）

τ　は、ατ(1),ατ(2)・・・,ατ(n)
τσは、ατσ(1),ατσ(2)・・・,ατσ(n)
と表されるが、ατ(i)＝βiと書くと
τ　は、β1,　　β2・・・,　　βn
τσは、βσ(1),βσ(2)・・・,βσ(n)
となる一方

１は、α1,　　α2・・・,　　αn
σは、ασ(1),ασ(2)・・・,ασ(n)
であるから、τNの第1行の順列τから出発して（それを単位元、すなわち恒等写像と考えて）τNはその置換の群を表しているとみなすと
Nと同じ置換が並んでいることになる
それをガロアは”おのおのの群がみな同じとなる”と言っているのである
（数学篇より）

799: 2015/02/14(土)08:42 ID:4dGjuo/v(6/42) AAS
つづき

はっきり言って、この引用は読みにくい
ατσ(1)などは、本では下付の添え字だ。しかし、この板では下付の添え字は使えない
だから、本（数学篇）を読むようにお薦めする

で、>>443にも同じことを書いたが、「τNの第1行の順列τから出発して（それを単位元、すなわち恒等写像と考えて）τNはその置換の群を表しているとみなすと
Nと同じ置換が並んでいることになる
それをガロアは”おのおのの群がみな同じとなる”と言っているのである」
と

τNは群ではない。が、”みなす”だ
”わしには群の構造が見えん…”のID:jIkrOOS7さんに強く、数学篇を読むようにお薦めする

801(3): 2015/02/14(土)09:05 ID:4dGjuo/v(7/42) AAS
つづき
問題>>757 >>762に戻ると

>>338に書いた”2005年度代数学1 (数学3, 4年) 講義録pdf (群論の基本事項) P5定義2.4.の右作用による剰余類分類 ”ですね >>795

再録　問題(for スレ主限定)
1234　 2143　 3412　 4321
2314　 3241　 1423　 4132
3124　 1342　 2431　 4213

１列目は、4を固定して、(123)の巡回群になっている
２列目も、4を固定して、(123)の巡回群になっている（３，４列目も）・・、見かけはね

802(1): 2015/02/14(土)09:07 ID:4dGjuo/v(8/42) AAS
つづき

で、２列目を取り出す
2143
3241
1342

数学篇の引用>>795に従い、2143を2→1,1→2,4→3,3→4に変換して、2143→1234とする

２列目は
1234
4132
2431
こうして見ると、3を固定して、(124)の巡回群になっている

803: 2015/02/14(土)09:19 ID:4dGjuo/v(9/42) AAS
つづき

訂正数学篇の引用>>795に従い→数学篇の引用>>798に従い

>>801の「２列目も、4を固定して、(123)の巡回群になっている」
と
>>802の「こうして見ると、3を固定して、(124)の巡回群になっている」
の差がお分かりだろうか？

そして、数学篇の引用>>798に従った>>802では、２列目は１列目とは別の巡回群になっている
ガロアの命題IIIの”おのおのの群がみな同じとなる”>>797-798に反している
よって、(123)の巡回群C3による類別は、ガロアの命題IIIを満たしていないから、巡回群C3はA4の正規部分群ではない

805: 2015/02/14(土)09:33 ID:4dGjuo/v(10/42) AAS
>>800
連投規制を解消する良いカキコですね（スレ主語録より）

806(2): 2015/02/14(土)11:25 ID:4dGjuo/v(11/42) AAS
>>763
どうも。スレ主です。

>「C^{×}＝C-R+{1}にして」は「C^{×}＝(C-R)∪{1}にして」の書き間違いだろう。

うん。まあ、ここらは基本アスキー文字制限の板だからね（本のように正確には書けないし、”∪”なんて出してくるのが面倒なんだ）
で、>>498の「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}」にならっただけ。正式の書き方でないんだろうが、そもそも正式の書き方を要求しても無理な板（正式な記号が書けない）でしょ
そういえば、数学記号のページがあったよな（下記）
外部ﾘﾝｸ:mathma
thmath.do
tera.net/

809(1): 2015/02/14(土)11:50 ID:4dGjuo/v(12/42) AAS
>>806　つづき

外部ﾘﾝｸ:mathma
thmath.do
tera.net/
このURLが規制で通らないので、改行を入れた。

さて、ID:+oxdhrEC
>>８．また、複素平面 1＜|c| の部分が非可算無限集合であることを証明していないが、
>>それは集合論にゆずる（c0から構成される乗法群の詳細は>>501に記した通り）
>が以前として問題に残る。このことは、Rが非可算無限集合なることから従う。
>Rが非可算無限集合なることは、>>520のようなカントールの対角線論法で示せる。

そこは、見解が違うよ。ここは初学者も来るから書いておくが
出題>>498で、>>520のようなカントールの対角線論法を要求するという発想がおかしいと思う
（”いや、群論の問題として出したつもりなのだが…。 ”>>519の陳述とも合わない）

それをさして「おい、こら延々自明で済むことを証明してるな」とID:rAtp1PBPさん>>524だろうよ
普通は、”カントールの対角線論法”は、出題>>498では自明として扱うべきだと思うぞ

だから、証明方針は>>717だよ("無限濃度の理論なんて公理系の取り方で、証明法と結論は変わることは常識。だったら、そこ（無限濃度の証明の詳細）は足を入れると泥沼だ。証明の方針で失敗してんだよ！")
”証明の方針：無限集合論を認めて、「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群」の部分集合の族として、非加算の部分集合を構成すれば良い”>>712でしょ？

810: 2015/02/14(土)12:01 ID:4dGjuo/v(13/42) AAS
>>807-808
どうも。スレ主です。

>この前、γが確実に無理数であることは分かったんです、γは無理数。
>そしたら、何かすごく汚い方法で、まだ綺麗な証明とはいえないんです。

どこかのスレにも連投なんすかね？　はて？
γは、下記ではA、B、CのCだと・・。で、オイラーかね？

外部ﾘﾝｸ:diamond.jp
アルファベットは「なぜ」生まれたか？
～日常からの発見【文字編】

三谷宏治 [K.I.T.虎ノ門大学院主任教授]
【第93講】 2014年8月21日

アルファベットはなぜ、アルファベットというのでしょう？

ヒントは「アルファ / ベット」です。わかりましたか？

現代の基本アルファベットは、ラテン文字（紀元前6世紀～）そのものであり、それはギリシア文字から受け継がれたものです。いずれも、簡素な音素文字であり、文字のカタチも似ています。

つまり、現代アルファベットの直接的祖先は、（まずは）ギリシア文字だということです。小文字で書けば、

αβγδεζηθικμνξοπρστυφχψω

われわれにもっともなじみ深いギリシア文字は「π（パイ）」でしょう。

なんといってもメジャーなのは、α、β、γでしょう。アルファベットのA、B、Cにあたります。

811: 2015/02/14(土)12:09 ID:4dGjuo/v(14/42) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オイラー・マスケローニ定数 (Euler-Mascheroni constant)、オイラーのγ (Euler's gamma) とも呼ぶ。
オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。

念のために英語版　（文字化けは修正していませんのでURLを見て下さい）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Properties
The number \gamma has not been proved algebraic or transcendental. In fact, it is not even known whether \gamma is irrational.
Continued fraction analysis reveals that if \gamma is rational, its denominator must be greater than 10242080.[7]
The ubiquity of \gamma revealed by the large number of equations below makes the irrationality of \gamma a major open question in mathematics. Also see Sondow (2003a).

812(3): 2015/02/14(土)12:30 ID:4dGjuo/v(15/42) AAS
>>764
どうも。スレ主です。

学生さんみたくおもえるんだが・・

”ちなみに、異なる2つの濃度の間では足し算、掛け算は出来るが、
引き算、割り算は出来ないから、アレフ0とアレフ1の定義から、
アレフ0＜α＜アレフ1なる濃度αは存在しない。 ”って、おい

ここは初学者も来るから、変なことを書かないように
>>594 ID:s6S0zUJ/さんが、2015/02/04(水)に間違いを指摘している
「連続体仮説」というキーワード検索してみな

814(1): 2015/02/14(土)12:40 ID:4dGjuo/v(16/42) AAS
>>765
どうも。スレ主です。

"θo＝(√2)/5 "は、θoを無理数に取って、「ｎ乗したときn*θoが整数にならないようにした」という心だよ

>まあ、この問題の話は終了な。お前さんは下手に挙げるな。

うん、自分で問題を作るという意欲は買える
西洋では、他人の難しい論文を理解する頭のいいやつより、オリジナルを考える人が尊重される
日本は、明治のころ文明がおくれいたので、伝統的に西洋文明を理解できるやつが頭が良いと尊重されたがね

815(2): 2015/02/14(土)12:46 ID:4dGjuo/v(17/42) AAS
>>813
”「連続体仮説」というキーワード検索してみな ”と書いたろ？
ヒント：連続体仮説は、なぜ仮説と呼ばれるのか？

817(1): 2015/02/14(土)13:10 ID:4dGjuo/v(18/42) AAS
>>720 補足

>また無限次Galois拡大についても触れられている点が良かった。和書では少ないと思う。

広島大松本眞先生の下記に
2 無限次ガロア理論16
2.1 無限次ガロア理論の基本定理: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
2.2 profinite 位相: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
2.3 無限次ガロア理論の基本定理の証明: : : : : : : : : : : : : : : : 18
2.4 実例：有限体の場合: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19

正直むずいね。岩澤理論と関係があるらしいが・・、何にどう使うかイメージがわかない
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
ガロア理論松本眞平成18 年11 月22 日広島大
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
授業など教育活動関連

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数論における岩澤理論（いわさわりろん、Iwasawa theory）は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として創始した、（無限次元拡大の）ガロア群の、イデアル類群における表現論である。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

818: 2015/02/14(土)13:12 ID:4dGjuo/v(19/42) AAS
>>816
連投規制を解消する良いカキコですね（スレ主語録より）

819(9): 2015/02/14(土)13:44 ID:4dGjuo/v(20/42) AAS
>>716

>で、この「非可算無限個」の濃度をאy、連続濃度を1אとすると、אy＝2^1א
>が成り立つという予想ができる
>つまり、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」と予想ができる
>（∵ >>712のように、一つの数cから成る部分群を構成したが、一つの数cに限定する必要はなく、任意の数の組み合わせで部分群が構成できるから）

ここをちょっと考えてみた
１．まず、正の実数の成す乗法群の集合を考える
２．簡単な例として、１より大の３つの数から生成される群GとHを考える
３．g1,g2,g3∈G,h1,h2,h3∈H,として、各３つの数の最低のものをg1,h1として比較する
４．g1≠h1なら、G≠Hが成立する。
５．g1＝h1なら、２番目の数を比較する
６．これを繰り返し、もし３番目の数も一致するなら、G＝Hが成立することは自明で、単射性は成立する
７．上記の議論は、３つの数に制限されるものではなく、任意の個数から成る群に適用できる
８．よって、１より大の任意の個数の実数から成る群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
９．但し、集合論的な証明の部分は、そちらにゆずる

この証明は、複素数の絶対値を考えることで、複素平面C上の乗法群C^{×}の部分群の集合の濃度に拡張できる

820(1): 2015/02/14(土)13:51 ID:4dGjuo/v(21/42) AAS
>>819

訂正
えーと、１より大の任意の実数の部分集合から生成される群の議論が抜けているね

で、７と８の間に１行追加
７－１．さらに、この論法は、１より大の任意の実数の部分集合から生成される二つの群の比較に拡張できる

821(1): 2015/02/14(土)14:05 ID:4dGjuo/v(22/42) AAS
>>820

訂正追加

８．よって、１より大の任意の個数の実数から成る群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
　↓
８．よって、１より大の任意の実数の部分集合から生成される群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ

829: 2015/02/14(土)17:07 ID:4dGjuo/v(23/42) AAS
>>809 訂正

さて、ID:+oxdhrEC
↓
さて、ID:+oxdhrECさんの>>763のつづき

831: 2015/02/14(土)17:13 ID:4dGjuo/v(24/42) AAS
>>822-828

学生じゃないのか？>>822
で、イメージをクリアにするために、確認しておきたいが、>>498を出題したのはあなたですね。

835(1): 2015/02/14(土)19:13 ID:4dGjuo/v(25/42) AAS
>>832-833

はいはい。こんな簡単な問題に一週間もかかるですね
では、質問です
出題者らしき ID:Mni4k+dmさんが、>>828で
”つまりな、正の有理数全体や正の実数全体がなす、通常の乗法についての群だと、
単位元の1に近い実数が幾らでも存在するが故に、>>819のような論法は通用しなくなる。 ”
と書かれた

これの当否はいかに？

837(2): 2015/02/14(土)19:31 ID:4dGjuo/v(26/42) AAS
>>834

どうも。スレ主です。
まだ、ざっと読んだだけですが
的確なご指摘ありがとう

838: 2015/02/14(土)19:41 ID:4dGjuo/v(27/42) AAS
>>836

どうも。スレ主です。
はいはい、ID:jG+cD97xくんね

では、 >>833 ID:rImu230Wくんはどうかな？
基本が分かっている？　秒殺だろ？

840(2): 2015/02/14(土)20:17 ID:4dGjuo/v(28/42) AAS
>>837 つづき

>> τNは群ではない。が、”みなす”だ
>EdwardsのAppendixの最後の脚注を見るか
>外部ﾘﾝｸ:books.google.co.jp のこの書籍内から"into p groups"で検索

なるほど。Edwardsは、手元にあるが、検索も便利だね
ちょっと引用しよう

P122 Appendix3 最後の脚注
"* Galois' description in Proposition II of the partition as a "partition into p groups" shows that he did not always use the word "group" in the modern sense.

関連 P106
Proposition II
Theorem. If one adjoins to a given equation the root r of an auxiliary irreducible equation*
(1) one of two things will be happen: either the group of the equation will not be changed;
or it will be partitioned into p group, each belonging to the given equation respectively when one adjoins each pf the roots of the auxiliary equation;
(2) these groups will have the remarkable property that one will pass from one to the other in applying the same substitution of the letters to all permutations of the first.

841(1): 2015/02/14(土)20:23 ID:4dGjuo/v(29/42) AAS
>>839

ID:jG+cD97xくんか
まあ、口先ではなんでも言える
人が解答を書いたあとから、「こんな簡単な問題に一週間もかかる」とか
自分が分からないからと、「自分で答えろ、他人に頼るな」とか

試しているんだよ、ID:jG+cD97xくんのレベルを（>>833 ID:rImu230Wくんに同じ）
挑発していると言ってもいいだろう
まあ、君たちには無理だろうがと

846: 2015/02/14(土)20:54 ID:4dGjuo/v(30/42) AAS
>>840

Proposition II は、曰く付きのところだった
彌永本には書いていないが、Edwardsにはある
守屋本外部ﾘﾝｸ:www.kyoritsu-pub.co.jp アーベルガロア群と代数方程式にもある
守屋本P32より「いくつかの補足すべきものがある」「時間がない」と

倉田本外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp ガロアを読む―第1論文研究単行本 – 1987/7/15 倉田令二朗
P143で、Proposition II について、詳しく書いている。ガロアの証明は正しくないが、ｐが素数なら正しいと

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ぬこの手ぬこTOP 0.206s*