[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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1(51): 不等式ヲタ 05/01/17 06:40 AA×
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kalva.demon.co.uk
外部ﾘﾝｸ:imo.math.ca
960(2): 2007/05/01(火)02:21 AA×
>>958
961(1): 2007/05/01(火)02:35 AAS
よく使う不等式に、相加相乗平均に調和平均を付け加えたいですね。
他には…、
加重平均、r次平均、チェビシェフの不等式、ミンコフスキーの不等式、並べ替え不等式
あと、よく分からんのが、Majorization Inequality ('A;;;;::::
962: 2007/05/01(火)02:44 AAS
前スレでお世話になった「数オリ事典」を参考文献に追加した。
（この本で、並べ替え不等式を知った）
963(1): 953 2007/05/01(火)04:38 AAS
>>961
ご指摘を受けてとりあえず諸々を追加しておきました。
964(1): 2007/05/01(火)06:32 AAS
>>963
TeXでまとめて、画像に変換して…と、大変な作業、おつかれ様です。
Texで書いてjpg画像にしたんだけど、画像の貼り方というより、
画像をどこにUPすればよいか、よく分からんのですが…
UPできれば、同じようにリンク先を書いてしまえばいいんだろうけど…
965(1): 2007/05/01(火)06:45 AAS
なるほどな〜。
試しに、不等式を一つ貼ってみますた。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
966: 953 2007/05/01(火)11:10 AAS
>>964-965
収録不等式増強にご協力ありがとうございます。
画像を貼るには，まず，左上の「添付」をクリックしてファイルをアップロードします。
次に，ページ編集画面で，「IMG」と書いてある，画像を貼るボタンがあるので，それをクリックして画像を選択すると貼れます。
あるいは，ソース中で &ref(URL) を直接書いてもよいです。
967(1): 2007/05/01(火)14:41 AAS
>>960
ﾜﾛﾀ
絶版か、、買っとけばよかったorz
並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。
968: 2007/05/01(火)15:14 AAS
>>967
> 並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。
Exactly（そのとおりでございます）！ AA略
969: 2007/05/01(火)15:23 AA×
>>-
970: 2007/05/01(火)18:54 AAS
>>950
(x^2 +yz)/[x√(2(y+z))] + (y^2 +zx)/[y√(2(z+x))] + (z^2+xy)/[z√(2(x+y))] ≧ √((y+z)/2) + √((z+x)/2) + √((x+y)/2)
≧ √x + √y + √z.
(略証)
・右側
√((x+y)/2) ≧ (√x + √y)/2 を循環的にたす。
この式は (x+y)/2 = {(√x + √y)/2}^2 + {(√x - √y)/2}^2, または f(x)=√x が上に凸, で簡単。
・左側
yはxとzの中間にあるとすると、(x-y)(y-z)≧0,
(左辺) - (中辺) = (x-y)(x-z)/[x√(2(y+z))] + (y-x)(y-z)/[y√(2(z+x))] + (z-x)(z-y)/[z√(2(x+y))]
= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/[x√(2(s-x))] -1/[y√(2(s-y))] +1/[z√(2(s-z))]}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))]
= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/√g(x) -1/√g(y) +1/√g(z)}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))],
ここに g(ξ) = (ξ^2)(2s-2ξ), s=x+y+z.
ここから
g(y) - g(x) = 2(y-x){(x+y)(s-x-y) +xy},
g(y) - g(z) = 2(y-z){(y+z)(s-y-z) +yz},
yはxとz の中間にあるとしたから、上の2式の一方は ≧0.
g(y) - g(min) ≧0,
1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0.
あるいは
ξ>0 のとき、相加･相乗平均より g(ξ) ≦ (2s/3)^3, 等号成立は ξ=2s/3 のとき。
すなわちg(ξ)は ξ=2s/3 に極大をもつ。またξ=0に極小をもち、0〜2s/3 で単調増加。
x,y,z のうち 2s/3 以上になるのは高々1個。
残りの2つは 2s/3 より小さい。
0 < g(min) ≦ g(y),
1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0.
スレ保存会の皆様、お疲れ様です。
ハｧハｧ
971(1): 2007/05/03(木)16:40 AAS
不等式を２つほど…
つ 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
972(3): 2007/05/03(木)16:53 AA×
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.cms.math.ca
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.journals.cms.math.ca
973(1): 2007/05/04(金)06:34 AAS
>972
[490] (modified)
Does there exist a number k for which
min{ (x_i -x_j)^2 | i>j } ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}.
for any real numbers x_1, x_2, …, x_n ?
If so, determine the smallest such k(n).
Answer
左辺を μ^2 とおく(μ≧0)。
x_1≧x_2≧…≧x_n と並べなおすと、
|x_i - x_j| ≧ |i-j|μ, (1≦|i-j|≦n-1)
|i-j|=L となる(i,j)は(n-L)組あるから、全部で
Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≧ (μ^2)Σ[L=1,n-1] (n-L)L^2 = (μ^2)*(n^2)(n^2 -1)/12 = (μ^2)*(n/k(n)),
一方,
Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≦ S^2 + Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 = n{(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
ここに S = x_1+x_2+……+x_n.
これらより
μ^2 ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
ここに k(n) = 12/{n(n^2 -1)},
k(3)=1/2, k(4)=1/5.
974(1): 2007/05/04(金)20:43 AAS
>971
[Problem 273]
△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、次を示せ。
cos(A)/{sin(A)^2} + cos(B)/{sin(B)^2} + cos(C)/{sin(C)^2} ≧ R/r ≧2.
等号成立は正3角形のとき。
（Source: 2000 Beijing Math. Contest)
Answer:
・左側は、辺で表わす。
S = (ab/2)sin(C) = (bc/2)sin(A) = (ca/2)sin(B) = abc/4R より
(左辺) = (bc/2S)^2･cos(A) + (ca/2S)^2･cos(B) + (ab/2S)^2･cos(C)
= (abc/8S^2){(b^2 +c^2)/a -a +(c^2 +a^2)/b -b +(a^2 +b^2)/c -c}, ← 第2余弦定理
S = ar/2 + br/2 + cr/2 = (a+b+c)r/2 より,
1/r = (a+b+c)/2S,
R=abc/4S ← 正弦定理
辺々かけて
(中辺) = R/r = (abc/8S^2)(a+b+c),
(左辺) - (中辺) = (abc/8S^2){[(b^2)/c +(c^2)/b -b-c] + [(c^2)/a +(a^2)/c -c-a] + [(a^2)/b +(b^2)/a -a-b]}
= (1/8S^2){a(b+c)(b-c)^2 + b(c+a)(c-a)^2 + c(a+b)(a-b)^2}
≧ 0,
・右側
△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)
大関: 「不等式への招待」近代科学社 (1987) p.8 >>960
>972
[491] は >>353 にて解決。 >>21 [前スレ.563(7)]
ハｧハｧ
975(1): 2007/05/05(土)22:02 AAS
>972
[3241]
a,b,c は実数で、a^2 +b^2 +c^2 =9 とするとき、次を示せ。
3･min{a,b,c} ≦ 1 + abc.
等号成立は min=-1, others=2 のとき.
Answer.
min{a,b,c} = c としても一般性を失わない。cを固定して(a,b)平面で考える。
題意より、円周 a^2 +b^2 = 9-c^2 のうち a≧c, b≧c の部分を考える。
〔補題〕
a,b ≧c≧0 のとき ab ≧ c√(a^2 +b^2 -c^2) = c√(9-2c^2).
(略証)
(ab)^2 - (c^2)(a^2 +b^2 -c^2) = (a^2 -c^2)(b^2 -c^2) ≧0. (終)
・c≦0 のとき
相加･相乗平均で ab ≦ |ab| ≦ (a^2 +b^2)/2 = (9-c^2)/2.
3c ≦ 3c + (1-c/2)(1+c)^2 = 1 +c(9-c^2)/2 ≦ 1 + abc,
等号成立は a=b=2, c=-1 のとき.
・0≦c≦1.4 のとき
補題より ab/c ≧ √(a^2 +b^2 -c^2) = √(9-2c^2) ≧ (3/2)^2,
3c ≦ 1 + (3c/2)^2 ≦ 1 + abc,
・√(3/2) ≦c≦√3 のとき
(c^2)(9-2c^2) = 9 + (3-c^2)(2c^2 -3) ≧ 9,
ab ≧ c√(9-2c^2) ≧ 3,
3c ≦ 1 + 3c ≦ 1 + abc.
きょうは子どもの日だ…
フｩハｧ
976: 2007/05/05(土)22:18 AAS
>973
Σ[n≧i>j≧1] と書くべきか?
>974
a,b,c は△ABCの辺の長さ、Sはその面積でつ。
>975
cが最小のとき、-3≦c≦√3 を使いますた。
いつもｽﾏｿ.
977(1): 2007/05/05(土)22:36 AAS
フウウウウウウ〜〜〜
わたしは…子供のころ…Cauchy-Schwarzの不等式って
ありますよね…あの不等式…書物で見たときですね。
あの変数がきれいに並んでいる「不等式」…あれ……初めて見た時…
なんていうか……その…下品なんですが…フフ…………
勃起……しちゃいましてね…………
「不等式」のとこだけ切り抜いてしばらく……部屋にかざってました。
あなたのも……切り抜きたい…。
978: 2007/05/08(火)23:43 AAS
>>977
吉良かｗ
979(1): [age] 2007/05/12(土)09:15 AAS
>>945と似た問題
a,b,cは実数で，aは0でない。このとき以下の不等式が成立することを示せ．
a((b^2-4ac)/4a)+a^2((b^2-4ac)/4a)^(2/3)+ab((b^2-4ac)/4a)^(1/3)+ac≧0
980: 2007/05/13(日)05:10 AAS
不等式への招待 第３章
2chｽﾚ:math
981: 2007/05/14(月)17:35 AAS
age
982: 2007/05/15(火)08:40 AAS
二年百十八日二時間。
983: 2007/05/16(水)06:40 AAS
二年百十九日。
984(1): 2007/05/16(水)11:33 AAS
誰か>>979解いて！！(＞＜;)
985: 2007/05/16(水)16:05 AAS
a((b^2-4ac)/4a)＝(b^2-4ac)/4？
986(1): 2007/05/16(水)21:43 AAS
>>984
元ネタは？
987: 2007/05/16(水)23:00 AAS
>>986
オリジナルです。
988: 2007/05/17(木)07:58 AAS
判別式だろ？
989: 2007/05/18(金)06:40 AAS
二年百二十一日。
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