[過去ﾛｸﾞ] ワンピース強さ議論と雑談スレ705 (1002ﾚｽ)
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93: (ｱｳｱｳｶｰ Sa4d-ow1X) 2018/05/20(日)10:07 ID:lEg4ELxu(3/6) AAS
>>83-86
確認初等代において最高次係数 1の二項式の平方公{\displaystyle(x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}}
は単純な構造をしている。つまり完全平方式において、一次の係数は p の二倍で定数項（英語版は p の自乗になっている。
任意の最高次係数 1 の二次多項式 {\textstyle x^{2}+bx+c} と最初の二項が一致する完全平方式を 
{\textstyle (x+{\tfrac {1}{2}}b)^{2}=x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}} によって与えることができる。これら二つは定数項のみが異なるのであるから、
適当な定数を加えることに{\displaystyle x^{2}+bx+c=(x+{\tfrac {1}{2}}b)^{2}+k}
の形にすることができる
（なんとなれば、{\textstyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}} ととればよいのである）。このような変形操作を平方完成と呼ぶ。
最高次係数 1 でないとき与えられた二次式が {\textstyle ax^{2}+bx+c} の形であるときには、二次の係数
 a で式全体を括ることができて、最高次係数 1 の場合の結果を適用して平方完成ができる。そうして得られた二次式は {\displaystyle a(x-h)^{2}+k} という形
をしている。公式平方完成の結果を公式にまとめると、一般の場合[1]{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,\quad
\left(h=-{\frac {b}{2a}},k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),}
特に a = 1 のとき:
{\displaystylex^{2}+bx+c=(xh)^{2}+k,\quad \left(h=-{\frac {b}{2}},\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}
と書ける。これの行列版もよく似た形に書ける。A は対称行列として:
k=c-{\frac {1}{4}}b^{\top }A^{-1}b\right),}
A が対称でないときは h と k の式が
{\displaystyle h=-(A+A^{\top })^{-1}b,\quad k=c-h^{\top }Ah=c^{\top })^{-1}b}
とやや一般になるが同じ式で書ける。
 に対する平方完成を考える。x2とは一辺の長さ x積と解釈することができる。そこで平方完成の過程を、この長方形に対する操作として視覚化しよう。
正方形 x2 に長方形 bx をうまく貼り付けてカドの欠けたより大きな正方形を作ることを思えば、平方完成のおける方程式の両辺に (b/2)2 の項を加える操作は、まさにその欠けたカドの面積を埋める作業に他ならない。
類似の手法編集
通常は平方完成とは u2 + 2uv の形の式に第三項 v2 を加えて完全平方式を作る操作を考えるものである。当然 u2 + v2 の形の式に中間項 2uv または −2uv を加えても完全平方式は得られる。
二次方程式の解法編集
平方完成は任意の二次方程式を解くために用いることができる。因数分解による解法は根が有理数である場合には確かな解法であるが、平方完成による解法は根が無理数や複素数でもそのまま適用できる。最高次係数 1 でない場合には、まず方程式の両辺を x2 の係数で割ればよく、したがってこの方法で二次方程式の一般形から二次の根の公式が導出できる
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