ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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363: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/17(金) 18:03:13.42 ID:MEr9oV+O

>>177
(引用開始)
>これが 理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

”実数の整列順序”に戻る
下記です
・選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
・しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
・V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない
例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない
一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である
例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる
可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≤ が整列順序となることも、ならないこともありうる

en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という

また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（アルキメデス的順序群に関するHölderの定理による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という

これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]

注釈
[脚注の使い方]
1^ この性質を順序完備性と呼ぶことがある。実数体においては特に「上限性質」という呼称で呼ばれることが多い。なおこの性質には実数の連続性にある通り同値な言い換えが複数ある
2^ これは正確に述べると「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」という意味である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/363

364: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/17(金) 18:20:06.36 ID:MEr9oV+O

>>363
Cantor en.wikipedia に、興味深い記述があった（下記）
”彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ・・”
とある

en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg 略 Cantor ( March 1845 – 6 January 1918)
(google訳)
Teacher and researcher
1889年、カントルはドイツ数学会の設立に尽力し、1891年にハレで開催された同会の第一回会合で議長を務め、対角線上の議論を初めて発表した。カントルの評判は高く、クロネッカーが反対したにもかかわらず、同会の初代会長に選出された。クロネッカーがカントルに対して示した敵意をよそに、カントルはクロネッカーを会合で講演するよう招いたが、当時、妻がスキー事故で負傷し瀕死の状態だったため、講演はできなかった。ゲオルク・カントルは、1897年にスイスのチューリッヒで開催された第一回国際数学者会議の設立にも尽力した

Later years and death
2度目の入院から間もなく、12月16日にカントルの末息子ルドルフが急死し（カントルはベーコン理論とウィリアム・シェイクスピアについての自身の見解を講義中だった）、この悲劇でカントルの数学に対する情熱は大きく失われた
1年後、彼はユリウス・ケーニヒが第三回国際数学者会議で発表した論文に憤慨し動揺した。その論文は超限集合論の基本原理が誤りであることを証明しようとしたものだった。その論文が娘たちや同僚の前で読まれたため、カントルは公に辱められたと感じた。エルンスト・ツェルメロが1日も経たないうちにケーニッヒの証明が失敗したことを証明したが、カントルは動揺したままで、一瞬神に疑問を抱いた。 カントルはその後生涯慢性的な鬱病に苦しみ、そのために何度か教職を免除され、さまざまな療養所に繰り返し入所した。1904年の出来事の後、2、3年の間隔で入院を繰り返した。しかし、彼は数学を完全に放棄したわけではなく、 1903年にドイツ数学者協会の会合で集合論のパラドックス（ブラーリ・フォルティのパラドックス、カントルのパラドックス、ラッセルのパラドックス）について講義し、1904年にはハイデルベルクで開催された国際数学者会議に出席した

1911年、カントルはスコットランドのセント・アンドリュース大学創立500周年記念式典に招待された著名な外国人学者の一人であった。カントルはバートランド・ラッセルに会うことを期待して出席したが、その会談は実現しなかった。ラッセルが最近出版した『プリンキピア・マテマティカ』にはカントルの著作が何度も引用されていた
カントルは1913年に引退し、第一次世界大戦中は貧困と栄養失調に苦しんだ。[ 34 ] 70歳の誕生日の公式祝賀会は戦争のため中止された。1917年6月、彼は最後の療養所に入り、妻に帰宅の許可を求める手紙を何度も書いた。ゲオルク・カントルは、人生最後の1年を過ごした療養所で、1918年1月6日に致命的な心臓発作を起こした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/364

365: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/17(金) 20:45:34.53 ID:Nd3VfUsg

>>363
(引用開始)
>これが 理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

その議論、下記のIn 1905 Kőnig の議論にある通りです
120年前の議論、ご苦労さまですｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Gyula_K%C5%91nig
Gyula Kőnig (16 December 1849 – 8 April 1913) was a mathematician from Hungary. His mathematical publications in German appeared under the name Julius König.

Kőnig and set theory
he published a paper that claimed to prove that not all sets could be well-ordered.
Contrary to Cantor, presently the majority of mathematicians considers undefinable numbers not as absurdities.
This assumption leads, according to Kőnig,
in a strangely simple way to the result that the continuum cannot get well-ordered. If we imagine the elements of the continuum as a well-ordered set, those elements which cannot be finitely defined form a subset of that well-ordered set which certainly contains elements of the continuum. Hence in this well-order there should be a first not finitely definable element, following upon all finitely definable numbers. This is impossible. This number has just been finitely defined by the last sentence. The assumption that the continuum could be well-ordered has led to a contradiction.

Kőnig's conclusion is not stringent. His argument does not rule out the possibility that the continuum can be well-ordered; rather, it rules out the conjunction of "the continuum can be well-ordered by a definition in language L" and "the property of being definable in language L is itself definable in language L". The latter is no longer generally held to be true. For an explanation compare Richard's paradox.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/365

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