ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN

>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。

やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof of axiom of choice
The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows.
To make a choice function for a collection of non-empty sets,
E, take the union of the sets in
E and call it X.
There exists a well-ordering of
X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E
associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■
An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of
R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/146

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN

>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな

>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで

（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
これにより、目的の選択関数が得られます』

つまり、目的の選択関数は
関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う）

そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から
一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で

従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び
三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・
などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること

ここは、理解できていますか？
これが 理解できていれば、選択関数は
整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と

つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが
（例え その一部分の場合も含めて）
具体的であることを妨げないのです

えーと、　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

ここで、
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1
ですねｗｗ ；ｐ）

「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ
それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176

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