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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN >>142-144 >整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと >連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。 やれやれ 証明が読めてない人は、だれでしょか? ;p) 下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります! 英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した 百回音読してね (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof of axiom of choice The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows. To make a choice function for a collection of non-empty sets, E, take the union of the sets in E and call it X. There exists a well-ordering of X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■ An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/146
158: 132人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 09:55:10.96 ID:f+uyuyBP >>146 可算集合の整列可能性は定義から自明。 可算選択公理は証明に不必要で 関係ない公理であると言える。当然ながら 可算集合の整列可能性⇒可算選択公理 が証明できるわけない。 リンク先の証明でいうと 可算集合族をEとして、Eに属する集合たちの和集合をXとする。 Xの整列から、可算選択公理が導かれるが Xは可算集合とは限らないのだから、あなたの言う 「可算整列可能定理(雑談限定用語)」から 可算選択公理は証明されない。 当たり前の話。自明な命題から 非自明な公理が導出されるわけないだろう。 >証明が読めてない人は、だれでしょか? ;p) そんなのあなたしかいないでしょ。 マジで脳みそ腐ってるレベル。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/158
176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN >>174 >x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。 >ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。 >雑談くんには理解できないだろうなぁ(遠い目) いやいやww ;p) おっさんな >>146-147の Well-ordering theorem (整列可能定理)の ”Proof of axiom of choice”などで (中国版より(英語版でも同様)) 『×に整列関係Rがある。 それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。 これにより、目的の選択関数が得られます』 つまり、目的の選択関数は 関係Rに依存する(各集合族で 関係R による 最小元を使う) そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合(非可算でも)から 一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で 従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び 三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・ などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること ここは、理解できていますか? これが 理解できていれば、選択関数は 整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ!と つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが (例え その一部分の場合も含めて) 具体的であることを妨げないのです えーと、 >>133より s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... (引用終り) ここで、 s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)=0 s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)=1 ですねww ;p) 「だれが、こんな勝手なことやっているのか!?」と怒ってもw それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、 その勝手な行為はw 決して禁止されていなのです!!ww http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176
208: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/13(月) 00:01:17.00 ID:xSRlEtRO >>146 補足 (引用開始) (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem (引用終り) この整列可能定理の系を思いついたので、書いておく >>203の集合Tとその元 s1,s2,s3 ・・・∈T の表記を借用する <整列可能定理の系(冒頭 有限個は任意)>: 可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い 証明 Tの部分集合で、任意n個の集合{s1,s2,s3 ・・・sn}を考え、T'=T\{s1,s2,s3 ・・・sn}とする Tの整列で冒頭の列として s1,s2,s3 ・・・sn を取る 残り、T'に対し 整列可能定理により列 s'1,s'2,s'3 ・・・ ∈T' を作る s1,s2,s3 ・・・sn,s'1,s'2,s'3 ・・・ と書ける 付番をやり直して s1,s2,s3 ・・・sn,sn+1,s+2,s+3 ・・・ と書ける これは、集合Tの整列であり、冒頭{s1,s2,s3 ・・・sn}は任意に取れる!■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/208
319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/15(水) 23:39:28.03 ID:HSrNcrvS >>310 検索すると >>148 (>>146-147もご参照) にあるね 補足 ・>>146で『整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります! 英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した』 と書いたけど ・このときに、選択公理→整列可能定理について、 中国版とイタリア版も見て、殆ど同じだと見ていたんだ (^^ さて、 >>313-315のご指摘にも 書かれているが 『一つずつ元が減っていくという関係で (部分集合全体のなす集合)のある部分集合が、Xを 最初の集合として、一列に並ぶ。 このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている という仕組み。』 『fがあれば 「一つずつ元が減っていくという関係で(部分集合全体のなす集合) のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも すっきり示される形になっている。』 これがキモですよね で、>>292より 再録 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/319
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