[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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423: 01/19(日)11:24 ID:Ql1n3AY7(1/16) AAS
或る π/2＜e'＜π なる超越数 e' が存在して、π−e' が実代数的数であると仮定する
a＝π−e' とおく
aの定義から、π−a＝π−(π−e')＝e' であって π/2＜e'＜π だから、
複素平面上の単位円周上の弧を実軸で切断した
複素上半平面 C^{+} における単位半円周 c^{+} 上
での点 e^{(π−a)i} の偏角の主値 π−a は確かに超越数 e' である
424: 01/19(日)11:26 ID:Ql1n3AY7(2/16) AAS
e' の仮定から e' は π/2＜e'＜π なる超越数だから、
aの定義から 0＜a＝π−e'＜π/2 であって、
aの仮定に注意すれば、複素上半平面 C^{+} における半円周上単位半円周 c^{+} 上
での点 e^{ai} の偏角の主値aは実代数的数である
425: 01/19(日)11:28 ID:Ql1n3AY7(3/16) AAS
よって、複素上半平面 C^{+} 上の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} の
各偏角の主値 π−a、a を考えれば複素上半平面 C^{+} 上
の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} は虚軸について対称ではない
しかし、複素上半平面 C^{+} 上の 2点 e^{(π−a)i}、e^{ai} は
虚軸について対称だから、矛盾が生じる
426(1): 01/19(日)11:29 ID:Ql1n3AY7(4/16) AAS
この矛盾は π/2＜e'＜π なる超越数 e' が存在して
π−e' が実代数的数であると仮定したことから生じたから、
背理法により π−e' が実代数的数である
π/2＜e'＜π なる超越数 e' は存在しないから、
任意の π/2＜e'＜π なる超越数 e' に対して π−e' は超越数である
超越数eは π/2＜e＜π を満たすから、π−e は超越数である
428: 01/19(日)12:02 ID:Ql1n3AY7(5/16) AAS
>>427
実代数的数の全体がなす体上で
級数で表された2つの超越数π、eが
一次独立であるかどうかを考えたことはあるか？
429: 01/19(日)12:06 ID:Ql1n3AY7(6/16) AAS
あっ、π/2＜π−1＜π という反例があったか
残〜念
430: 01/19(日)12:12 ID:Ql1n3AY7(7/16) AAS
>>427
受験数学じゃあるまいし、数学の才能というのはないと思った方がいい
431: 01/19(日)12:19 ID:Ql1n3AY7(8/16) AAS
π−1 じゃないな
周期に属する π/2＜e'＜π なる実数の超越数 e' か
432: 01/19(日)12:33 ID:Ql1n3AY7(9/16) AAS
ということは、π/2＜e＜π だからeが周期に属すると仮定して、
π−e が実代数的数か実数の超越数かで場合分けして
同様に考えれば、矛盾が得られて、
2つの超越数πとeは有理数体Q上代数的独立である
436: 01/19(日)12:43 ID:Ql1n3AY7(10/16) AAS
>>433
πとeはどっちも実数の超越数だから、
eが周期Pに属すると仮定すると π−e が代数的数のときは、
π＋e が超越数になるから、複素下半平面 H^{-} で同様に考えればよい
439: 01/19(日)12:58 ID:Ql1n3AY7(11/16) AAS
>>437
周期という複素数の体系では複素解析の考え方が有効に使える
440: 01/19(日)13:02 ID:Ql1n3AY7(12/16) AAS
>>438
周期では普通の解析数論というより代数幾何に近い考え方をする
だから、周期では実代数幾何や複素幾何が使える
445(2): 01/19(日)16:28 ID:Ql1n3AY7(13/16) AAS
>>442
5チャンでは即興で思い付いたことを書いている
以前他のスレでやったが、周期Pに属する実数全体 P∩R という
零集合上で実解析的に考えれば、有理数体Q上
πとeは代数的独立であることが示せる
448: 01/19(日)17:01 ID:Ql1n3AY7(14/16) AAS
γ＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋γ)) ではあるが、
各正の整数nに対して a_n＝1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋γ) とおいたとき、
実数列 {a_n} に対して或る実数cが存在して、
すべての正の整数nに対して {a_n} の第n項 a_n について a_n＝c とはなり得ず、
実数列 {a_n} について任意の実数cに対して、或る正の整数nが存在して a_n≠c なることは興味深い
449(1): 01/19(日)17:08 ID:Ql1n3AY7(15/16) AAS
>>446
大学1年レベルの線型代数が出来るからといって
行列式と連立方程式の解法の関係云々で
やたらイキるのは止めた方がいい
454(1): 01/19(日)18:08 ID:Ql1n3AY7(16/16) AAS
>>451
あれはxとbを同じ形のベクトルとしたときの Ax＝b という形の
連立方程式を表す正方行列Aの逆行列 A^{-1} の存在性と
その連立方程式の解xの存在性を確認している
ことと同じ訳で、話は難しくない
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