[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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327(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:07 ID:6RwEALUm(1/8) AAS
>>324-326
>つまらない問答
ID:LrNj7Iv2 は、御大か
朝の巡回ご苦労様です
>>325の口頭試問が
ほとんどヤクザの因縁に近いって意味ですね （＾＾
しかし、院試の口頭試問でなく、学生同士の自主ゼミの問答ならば
首肯できます
>>324
>君が本当に流しちゃって誤魔化した部分を、口頭試問の教授として質問してあげるよ
省15
334: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:32 ID:6RwEALUm(2/8) AAS
>>327 補足
>それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
>要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです
>>294 ここに戻る
(引用開始)
だから 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970
”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね
それで、議論は終りです
(引用終り)
省31
338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:54 ID:6RwEALUm(3/8) AAS
>>292より 再録
定理 選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
省13
341(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:39 ID:6RwEALUm(4/8) AAS
>>337 >>340
>順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
>ところで、昔の和書では ・・ ツォルンの補題を経由していたが
うむ 下記ですな
順序は 何度も読んだが、厳密を求めると 結構複雑です ；ｐ）
下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
を使うと、循環論法になる
ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
省22
342(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:40 ID:6RwEALUm(5/8) AAS
つづき
*2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。**)
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。
順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
省6
343: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:40 ID:6RwEALUm(6/8) AAS
つづき
正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**)
したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる：
略す
(引用終り)
注）**)
良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。
省7
344: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)17:11 ID:6RwEALUm(7/8) AAS
>>340
>選択公理から整列定理を証明するのに
>ツォルンの補題を経由していたが
>その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった
ご苦労様です
下記の いつもの 尾畑研 東北大
第13章 整列集合 13.3 整列可能定理 ”ここではツォルンの補題を用いて証明しよう”
ですな
ついでに、第14章順序数も 貼っておきます
(参考)
省25
346(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)18:22 ID:6RwEALUm(8/8) AAS
渕野昌「実数の集合論の基礎の基礎」
”2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容”
とある
「以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている」
とも
(参考)に、貼っておきますね
fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
実数の集合論の基礎の基礎 渕野昌(Saka´ eFuchino)
2002年8月24日軽井沢にて起稿
2002年11月11日新横浜名古屋間の新幹線の車中にて脱稿
省7
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