[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
604(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)19:24 ID:vKwDmbNO(9/11) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)
1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を
a0,a1,a2,・・と取り出して
そのときの選択関数の入力の集合が
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと）
と書ける
2）これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される
ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです
この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている
また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている
これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと
3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
証明が終わる■
では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると
P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当する部分が
どうなるかが問題となる
同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって
繰返しが起きる。これはまずい
集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき
そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・
と無限後退してしまう
それ、面白すぎじゃね？
だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね
そういう結論ですなｗ
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 398 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.012s