[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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583(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)09:00 ID:vKwDmbNO(2/11) AAS
>>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
(引用終り)

だった
つまり、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.

あるいは
海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.

ここで
order type sup{α∣aα is defined}
と
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
とが対応して、同じ意味だと思う

いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で
”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？

整理すると
ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて
一方で、順序数の理論体系が出来ていれば
集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから
”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと）
但し、整列可能定理を陽に使っていないこと

それ以外にも、
任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法）
も考えられる

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