[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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334: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:32 ID:6RwEALUm(2/8) AAS
>>327 補足
>それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
>要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです
>>294 ここに戻る
(引用開始)
だから 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970
”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね
それで、議論は終りです
(引用終り)
省31
335: 01/16(木)10:37 ID:miMM8tht(1/2) AAS
>”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してくださいね。
上記の整列順序に、整列可能定理要らんやんｗ
しかも ∈は不等号の性質満たさへんやん
そんなことも確認でけへんの？ 六甲山のサルは
336: 01/16(木)10:38 ID:miMM8tht(2/2) AAS
>”{}∈{{{}}}”となっていないから、おかしいというのは 整列可能定理の”as desired”が分ってないってこと
英語も正しく読めへんの、六甲山のサルのほうやん
337(1): 01/16(木)10:46 ID:+V3b7sdb(1) AAS
言っとくけど、順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:54 ID:6RwEALUm(3/8) AAS
>>292より 再録
定理 選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
省13
339: 01/16(木)11:07 ID:NgF0yie9(1) AAS
> 整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す
馬鹿は考えるのが嫌いだから、とにかく軽く流したがるが
そういう逃げ腰な精神が、物事の理解を妨げる
軽く流したら負け 重く受け止めろ それが数学に勝つということ
> 順序数との対応を付けるために、”集合X から 要素を取り出して 並べる”という これは 多分定石だろうが
定石は考えない馬鹿が最も好む言葉
違うやり方を考えてもいい 間違えたっていい
肝心なのは間違いを理解すること
どこそのサルみたいに、間違ったことを認めない自己愛○違いになったら、人間になれない
340(2): 01/16(木)14:26 ID:wwpV5N6L(5/5) AAS
ところで、昔の和書では
選択公理から整列定理を証明するのに
ツォルンの補題を経由していたが
その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった
341(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:39 ID:6RwEALUm(4/8) AAS
>>337 >>340
>順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
>ところで、昔の和書では ・・ ツォルンの補題を経由していたが
うむ 下記ですな
順序は 何度も読んだが、厳密を求めると 結構複雑です ；ｐ）
下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
を使うと、循環論法になる
ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
省22
342(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:40 ID:6RwEALUm(5/8) AAS
つづき
*2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。**)
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。
順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
省6
343: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)16:40 ID:6RwEALUm(6/8) AAS
つづき
正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**)
したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる：
略す
(引用終り)
注）**)
良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。
省7
344: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)17:11 ID:6RwEALUm(7/8) AAS
>>340
>選択公理から整列定理を証明するのに
>ツォルンの補題を経由していたが
>その証明は全然直観的でなく実にわかりにくかった
ご苦労様です
下記の いつもの 尾畑研 東北大
第13章 整列集合 13.3 整列可能定理 ”ここではツォルンの補題を用いて証明しよう”
ですな
ついでに、第14章順序数も 貼っておきます
(参考)
省25
345(1): 01/16(木)17:51 ID:q09NtzhZ(5/5) AAS
>■ 順序数の比較可能性 任意のつの順序数は比較可能であることを示そう
>略す
>■整列集合と順序数
>略す
>■ 濃度の定義
>略す
>■ ブラリ・フォルティのパラドックス
>略す
君、実は数学大嫌いでしょ
♪略す 略す 略す 略す 略す 略す
省1
346(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)18:22 ID:6RwEALUm(8/8) AAS
渕野昌「実数の集合論の基礎の基礎」
”2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容”
とある
「以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている」
とも
(参考)に、貼っておきますね
fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
実数の集合論の基礎の基礎 渕野昌(Saka´ eFuchino)
2002年8月24日軽井沢にて起稿
2002年11月11日新横浜名古屋間の新幹線の車中にて脱稿
省7
347: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)20:50 ID:AB73gH0c(1/5) AAS
>>342 補足
>順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
>ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。
下記ですね
貼っておきます
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序型
整列順序型と順序数
整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。
省5
348(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)21:08 ID:AB73gH0c(2/5) AAS
>>345
>君、実は数学大嫌いでしょ
>♪略す 略す 略す 略す 略す 略す
> （ウルトラセブンの歌のつもりで）
コピーしたら、ダメといい
コピーしないで略すとすると、またダメという
所詮、二枚舌
ダブスタの男ｗ ；ｐ）
349(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)23:44 ID:AB73gH0c(3/5) AAS
>>341
>下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
>を使うと、循環論法になる
なんか、思い出してきたな・・
下記の ”スコットのトリック”を、使う”スジ”が、あるね ；ｐ）
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリック(英: Scott's trick)とは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である[1]。
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
省10
350: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)23:44 ID:AB73gH0c(4/5) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy.
The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88
デイナ・スチュアート・スコット (英語:Dana Stewart Scott、1932年10月11日 - )はアメリカの計算機科学者、数学者、論理学者。数学的に難しい問題についての素養に基づき、非形式的だが厳格な方法で計算機科学・論理学・哲学にまたがる領域の根本的概念を明確化させてきた。オートマトン理論についての業績により1976年にチューリング賞を受賞。1970年代にはクリストファー・ストレイチーと共同でプログラム意味論への新たなアプローチを基礎付けた。様相論理、位相幾何学、圏論などでも業績を残している。
en.wikipedia.org/wiki/Dana_Scott
Dana Stewart Scott (born October 11, 1932) is an American logician who is the emeritus Hillman University Professor of Computer Science, Philosophy, and Mathematical Logic at Carnegie Mellon University;[1] he is now retired and lives in Berkeley, California.
(引用終り)
省1
351: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)23:47 ID:AB73gH0c(5/5) AAS
>>349 タイポ訂正
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名は方です
↓
なお、Dana Scott氏は、コンピュータサイエンスや圏論で有名な方です
352(2): 01/17(金)04:27 ID:bd1YOdDW(1/6) AAS
>>348
肝心なところをコピペせずに
無駄なところをコピペする
その馬鹿な態度がダメ
だったら何もしなければいい
所詮、大学１年の４月で挫折した高卒一般人に語れる数学は皆無
諦めろ
353(1): 01/17(金)04:32 ID:bd1YOdDW(2/6) AAS
> ・・・を、使う”スジ”が、あるね
毎度恒例の、自惚れ高卒一般人の連想ゲーム
> 一般的な・・・
> 略す
単語のつながりだけでわかろうとするのは生成AI並みの軽薄な態度
そんな論理抜きの連想で数学が分かるわけないだろ
軽く流すのは馬鹿、重く受け止めることで利口になる
数学したいなら、脳味噌の筋肉を鍛えること
嫌なら、数学は諦めなさい
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