[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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302(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/15(水)17:44 ID:ZCTGHyhi(6/11) AAS
公開処刑 火刑の燃料投下！ ；ｐ）
下記”The axiom of choice in metric measure spaces and maximal δ-separated sets”
”可算選択公理は、擬距離空間上のボレル測度の存在が、開球の測度が正で有限であることから、その空間の可分性を意味することを証明するのに必要かつ十分であることを示す”
ボレル測度や、ルベーグ測度を作るのに、ZFCが必要か
はたまた ZF＋DC(従属選択)でよいのか？ それが問題だ by ハムレット ；ｐ）
調査中
(参考)
link.springer.com/article/10.1007/s00153-023-00868-4
Archive for Mathematical Logic
The axiom of choice in metric measure spaces and maximal δ-separated sets
Michał Dybowski & Przemysław Górka Volume 62 (2023)
Abstract
We show that the Axiom of Countable Choice is necessary and sufficient to prove that the existence of a Borel measure on a pseudometric space such that the measure of open balls is positive and finite implies separability of the space. In this way a negative answer to an open problem formulated in Górka (Am Math Mon 128:84–86, 2020) is given. Moreover, we study existence of maximal
δ-separated sets in metric and pseudometric spaces from the point of view the Axiom of Choice and its weaker forms.
(google訳)
可算選択公理は、擬距離空間上のボレル測度の存在が、開球の測度が正で有限であることから、その空間の可分性を意味することを証明するのに必要かつ十分であることを示す
このようにして、Górka (Am Math Mon 128:84–86, 2020) で定式化された未解決問題に対する否定的な答えが与えられる
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ボレル測度（英: Borel measure）とは、次のように定義される測度のことである：X を局所コンパクトなハウスドルフ空間とし
B(X) を X の開集合を含む最小のσ-代数とする。このような
B(X) はボレル集合のσ-代数と呼ばれる。ボレル測度とは、ボレル集合のσ-代数上で定義される任意の測度 μ のことを言う
実数直線上において
通常の位相を備える実数直線 R は局所コンパクトなハウスドルフ空間であるため、その上でボレル測度を定義することが出来る。そのような場合
B(R) は R の開区間を含む最小のσ-代数となる。そのようなボレル測度 μ は多く存在するが、すべての区間
[a,b] に対して
μ([a,b])=b−a であるようなボレル測度 μ は、しばしば、R 上の代表的なボレル測度（"the" Borel measure）と呼ばれる。実際には、そのような代表的なボレル測度でさえも、ボレル集合のσ-代数上定義される測度の中で最も便利なものであると言う訳ではない。実際、ボレル測度では必要とされない完備性という重要な性質を備えたルベーグ測度
λ が、そのような代表的なボレル測度の拡張として存在している。ここで、ルベーグ測度
λ がボレル測度
μ の拡張であるとは、すべてのボレル可測集合 E がルベーグ可測であり、さらにその集合上ではボレル測度とルベーグ測度が一致する（すなわち
λ(E)=μ(E) がすべてのボレル可測集合に対して成立する）ということを意味する
つづく
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