[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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102(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)21:18 ID:NmRCi1sD(1/3) AAS
>>99-101
(引用開始)
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？
選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
となると思うが
(引用終り)
まず、先へ進もうねｗ ；ｐ）
1）下記の 従属選択公理で ”他の公理との関連：
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。
認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
これを百回音読してね
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
要するに
選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
従属選択公理(可算無限以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上制限あり)
可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限)
有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
3）”equivalent”に注目しよう
例えば、下記の 選択公理 ←→ 整列可能定理 の証明を、そのまま使えば
各対応する 選択公理 vs 整列可能 の ”equivalent”の証明になる
4）その上で、可算整列可能定理について これを認めれば、可算選択公理が導かれる
なので、可算選択公理を否定するならば、可算整列可能定理も否定されて、
勝手に 可算長の列は 作れない
さて、対角線論法において、2進展開(0と1)で 上記の通り 横に展開する列の長さが有限ならば
縦方向の行の数の数 即ち 対角線論法の数も有限になるべし
だから 可算選択公理を否定しては、対角線論法が成り立たない
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice;
DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]
形式的な言明
R on X 上の二項関係
R が全域関係であるとは任意の
a∈X, に対してある
b∈X が存在して
aR b が成り立つことである。
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列 (xn) n∈N を全ての
n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる。
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。
(これを見るには、x0 から始められる R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
上での集合 X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す
つづく
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