なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

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13(9): 2024/11/13(水)10:33 ID:0yIDnyuw(1/3) AAS
>>2-3
下記は、かなり荒っぽい説明ですが
ゆえに分かり易い説明で、参考になります

note.com/yoriyuki/n/n456e260e4b1f
数学基礎論論争は結局どうなったか筆の滑り 2020年5月17日
数学に関心のある人なら、20世紀の初めに「数学基礎論論争」があったことをぼんやりとは聞いたことがあると思います。数学基礎論論争が結局どうなったかについて書きます。

目次
数学基礎論論争とは
論理主義
形式主義
省12

14(1): 2024/11/13(水)10:33 ID:0yIDnyuw(2/3) AAS
直観主義（構成主義）
直観主義数学とは、オランダの数学者ブラウアー(1881-1966)によって提唱された立場です。直観主義数学は排中律（任意の命題Pについて「PであるかPでないかどちらかである」とする主張)を否定する数学と紹介されることがありますが、排中律を否定するのはその主張の一部であって、他の古典数学の主張も否定されたり、古典数学とは相容れない独自の主張がなされることもあります。また、気まぐれに排中律を否定しているわけではなく、その背景には理由付けが存在します。

直観主義数学は大雑把に言って「具体的に操作可能なもの」だけが数学の対象だと考えます。そして、何かが存在すると主張することはそれを「構成」することだと考えます。また、「証明」自体も数学の対象です。ただし、数学の証明とは形式論理の推論の並びではなく、ある数学的命題の正しさを「構成」する「直観」です。
略
新しい数学の基礎として注目されているホモトピー型理論は直観主義型理論にUnivalent axiomという公理を追加したものになっています。また、古典的な数学をある程度直観主義の数学で解釈することが可能です。なので真っ向から対立するものだ、と考える必要はないことを付け加えておきます。

その後どうなったか
集合論のパラドックスについては、矛盾を含まないだろうと思われるZFCという小公理系が整備されて、あまり問題にならなくなりました。一方で、数学基礎論論争をきっかけに始まった数学の基礎についての研究は、数理論理学という形で（数学の基礎とはもはやあまり関係はなく）発展しています。また、集合論は圏論を扱うのがやや不便なので圏論そのものを基礎に据える考えや、直観主義の立場にたったホモトピー型理論などが新しい数学の基礎として研究されています。

15(3): 2024/11/13(水)11:02 ID:0yIDnyuw(3/3) AAS
>>13 追加
・1階述語論理か2階述語論理かという話があります ZFCは1階で弱い
・逆数学（2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる）で
　”定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのか”が研究されている
　なので、ZFCから出発しなくても、良い場合が多い（他人任せ？ｗ）
・ZFCは、はやりの圏論をカバーできていない

そんなところが、ZFCに対する不満（厳密だが、狭くて不便ってことでしょうか？）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
省15

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