[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/

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843: １３２人目の素数さん [] 2024/12/29(日) 22:05:32.84 ID:aRTKq65A >>841-842 >Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ >それは未解決だと思う それは、ずいぶん面白い問いだと思う まず、Exotic R4とは？ SmallとLargeがあるらしい そのまえに、通常のC^2には、通常のR^4と微分同相か？ という問いがあるだろう。多分Yesかな とすると、C^2にも Exoticな（通常と非微分同相な）微分可能構造が入るか？ という問題設定かな？ 多分Yesかな Cをリーマン球に丸めて、C'と書く。C'^2 はどうか？ 頭が働かない・・ ；ｐ） ところで、exotic 4-sphereについて ”a counterexample to the smooth generalized Poincaré conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.” とあるね (参考) en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4 Exotic R4 Small exotic R4s Large exotic R4s Michael Hartley Freedman and Laurence R. Taylor (1986) showed that there is a maximal exotic R4, into which all other R4 can be smoothly embedded as open subsets. Related exotic structures Casson handles are homeomorphic to D2×R2 by Freedman's theorem (where D2 is the closed unit disc) but it follows from Donaldson's theorem that they are not all diffeomorphic to D2×R2. In other words, some Casson handles are exotic D2×R2. It is not known (as of 2024) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincaré conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists. en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere#4-dimensional_exotic_spheres_and_Gluck_twists 4-dimensional exotic spheres and Gluck twists In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincaré conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false. Some candidates proposed for exotic 4-spheres are the Cappell–Shaneson spheres (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) and those derived by Gluck twists (Gluck 1962). Gluck twist spheres are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1. The result is always homeomorphic to S4. Many cases over the years were ruled out as possible counterexamples to the smooth 4 dimensional Poincaré conjecture. For example, Cameron Gordon (1976), José Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017). ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%AD%E3%82%BE%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF_R4 エキゾチック R4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/843

848: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/30(月) 06:46:31.29 ID:KwOVbDpb >>843 >>>Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ >>それは未解決だと思う >それは、ずいぶん面白い問いだと思う 　数学者にとってはね 　ただ大学１年の微積と線型代数でつまづいた素人の君の人生には全く無関係な問いだけどね >まず、Exotic R4にはSmallとLargeがあるらしい 　定義を書きなよ An exotic R^4 is called small if it can be smoothly embedded as an open subset of the standard R^4. An exotic R^4 is called large if it cannot be smoothly embedded as an open subset of the standard R^4. エキゾチック R^4 は、標準 R^4 の開部分集合として滑らかに埋め込むことができる場合、スモール、そうでない場合、ラージと呼ばれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/848

852: １３２人目の素数さん [] 2024/12/30(月) 08:01:31.35 ID:qdfGas+m >>847-851 ID:UCW3fghKは、御大か 朝の巡回、ご苦労さまです 下記を見ると、微分同相の数学は長い歴史があるわけで エキゾチック R4 に辿り着くまで、半世紀くらい その間、これでフィールズ賞を取った人が何人かいる 素人がちょっと考えたくらいで想像できるものではないことが、よく分りました ”C^2にも Exoticな（通常と非微分同相な）微分可能構造が入るか？”>>843 下記＋複素多様体が、必要か エキゾチック R4が、全てC^2で実現できるとは思えないが、幾つかは実現できるかな (参考) en.wikipedia.org/wiki/Diffeomorphism Diffeomorphism ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F 微分同相写像 微分同相写像（英: diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである 多様体の部分集合の微分同相写像 多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する g|U∩X=f|U∩X （g は f の拡張であることに注意）。全単射、滑らか、かつ逆関数も滑らかなとき、f は微分同相写像 (diffeomorphism) であると言う。 局所的な記述 モデル例。 U, V が Rn の連結開部分集合であって V は単連結なとき、可微分写像 f : U → V が微分同相写像 (diffeomorphism) であるとは、それが固有写像であり微分 Dfx : Rn → Rn が各点 x ∈ U において全単射であるということである。 Remark 1. 関数 f が（その微分が各点で全単射という条件だけのもとでは）大域的に可逆であるためには V が単連結であることは本質的である。例えば、複素平方関数の「実化」 略す を考えよう。すると f は全射であり detDfx=4(x2+y2)≠0 を満たすので Dfx は各点で全単射だが f は可逆でない、なぜなら単射でないからだ、例えば f(1,0) = (1,0) = f(−1,0)。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/852

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