ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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766: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 07:26:07.21 ID:WOhsFhKt

>>748 補足
>・Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2.
>・Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8.

リンクがあるので、下記貼っておきます

link.springer.com/article/10.1007/s40993-016-0058-2
The 1729 K3 surface
Published: 17 October 2016
Volume 2, article number 26, (2016)
Ken Ono & Sarah Trebat-Leder

link.springer.com/article/10.1007/s40993-017-0076-8
Erratum to: The 1729 K3 surface
Published: 10 February 2017
Volume 3, article number 12, (2017)
Ken Ono & Sarah Trebat-Leder

あと、下記追加
特に”The taxicab numbers subsequent to 1729 were found with the help of computers.”
まあ、そういう時代（”with the help of computers”）ってことですね
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%BC%E6%95%B0
タクシー数
n 番目のタクシー数（タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライト（英語版）が全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている（後述）
概要
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
x^3+y^3=N
の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y3 < N であるため）。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。

en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_number
Taxicab number
History and definition
The taxicab numbers subsequent to 1729 were found with the help of computers. John Leech obtained Ta(3) in 1957. E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel found Ta(4) in 1989.[6] J. A. Dardis found Ta(5) in 1994 and it was confirmed by David W. Wilson in 1999.[7][8] Ta(6) was announced by Uwe Hollerbach on the NMBRTHRY mailing list on March 9, 2008,[9] following a 2003 paper by Calude et al. that gave a 99% probability that the number was actually Ta(6).[10]</ref> Upper bounds for Ta(7) to Ta(12) were found by Christian Boyer in 2006.[11]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/766

771: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/26(木) 23:20:56.11 ID:WOhsFhKt

>>766 追加
>K3 surface

https://ja.wikipedia.org/wiki/K3%E6%9B%B2%E9%9D%A2
K3曲面
K3曲面 (英: K3 surface) とは、不正則数が 0 で、自明な標準バンドルを持っているという複素解析的、もしくは代数的な滑らかな最小完備曲面をいう。

エンリケス・小平の曲面の分類では、それらは小平次元がゼロの曲面の 4つのクラスのうちの一つである。

K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。K3曲面はラマヌジャンが1910年代に発見したが未発表に終わり[1][2]、後に Weil (1958) が再発見して、3人の代数幾何学者（クンマー、ケーラー、小平邦彦）と当時未踏峰だったK2に因みK3曲面と名付けた。

定義
K3曲面の特徴づけに使える同値な性質は多数存在する。完備で滑らかな自明な標準バンドルを持つ曲面は、K3曲面と複素トーラス（もしくはアーベル多様体）なので、そこに何かしら後者を除外する条件を付け加えればK3曲面の定義になる。複素数上で曲面が単連結であるという条件が時として使われる。

性質
1. 全ての複素K3曲面は、互いに微分同相である（小平邦彦が最初に証明した）。

Siu (1983) は、全ての複素K3曲面がケーラー多様体であることを示した。このケーラー多様体であるという事実と、カラビ予想のヤウによる解の結果として、K3曲面はリッチ平坦な計量を持つ。

上記のK3曲面の性質のおかげで、現在、代数幾何だけではなく、カッツ・ムーディ代数、ミラー対称性や弦理論で広く研究されている。特に、格子構造は、その上にネロン・セヴィリ群の構造をもつモジュラ性をもたらす。

弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E8 × E8 ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、および M-理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けらることができる。例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)

https://en.wikipedia.org/wiki/K3_surface
K3 surface

See also
・Mathieu moonshine, a mysterious relationship between K3 surfaces and the Mathieu group M24.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/771

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