ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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966: １３２人目の素数さん [] 2025/01/03(金) 11:08:15.36 ID:QLWcqwtj

>>962 補足
(引用開始)
>大事な所だけもう一度言う。
>整列定理からは如何なる具体的整列順序も出ない。よって「整列定理を用いて」は大間違い。
おれも言っておくが
・整列可能定理は、一階述語論理では選択公理と同値と言われる
・つまり、その本質は 整列可能”公理”である
・そもそも公理は、具体的な色がついていない
・具体的な色がついていないから、いろんな場面で万能に使えるってこと
・その上で、具体的な色がついていないけれど、数学者が工夫して 色を付けることを妨げない
・そうでなければ、公理として役に立たない
(引用終り)

大事なところだから、追加しておく

まず、前振り 下記 整列定理と同値といわれる 選択公理がある
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理（英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する。
可算選択公理
→詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている
(引用終り)

この可算選択公理を、考えると 可算整列可能定理が導かれるだろう
（フルパワー選択公理からは、非可算整列可能定理が導かれる）

さて、可算整列可能定理を使って、有理コーシー列 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
ができることは、すぐ分る（ここは、伝統的には ”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”箇所だろう）

有理コーシー列から、有理数Qを完備化した実数Rが構成できる
有理数Qを完備化すると、無理数（超越数を含む）が出てくる

超越数で、具体的に有理コーシー列を構成できる円周率πや自然対数の底e がある
一方で、多くの超越数で具体的な有理コーシー列を構成できない存在がある

つまり、整列可能定理は公理として、有理コーシー列で有理数Qの完備化を可能として
無理数（超越数を含む）の存在を保証するが

具体的な 有理コーシー列を持つ π、eなどもあれば
具体的な 有理コーシー列が分らない π+e、π-e などもある

全部ひっくるめて、整列可能定理（実は公理）なのです
具体的な場合も、具体的でない場合も含めて 整列可能”公理”です

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
π+e、π-e ・・・
有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/966

973: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/03(金) 20:43:18.47 ID:QLWcqwtj

>>971
ふっふ、ほっほ
おとぼけ かい？

biz.kddi.com/content/glossary/d/default/
デフォルト
読み方 : デフォルト
正式名称 : Default
Defaultとは
デフォルトとは、設定や状態が特に指定されていない場合に適用される標準値や初期設定を指します。
コンピューターやソフトウェアの設定において、ユーザーが何も変更しなかった場合に自動的に使用される値やオプションがデフォルトです。
例えば、アプリケーションの初期設定や、ウェブブラウザのホームページ、ファイルの保存先などがデフォルトとして設定されています。
ユーザーはこれらのデフォルト設定を、特定のニーズに応じてカスタマイズすることもできますが、変更しなければそのまま使用されます。
デフォルト設定は、使いやすさや利便性を考慮して設計されており、多くのユーザーにとって最適な選択肢となることが多いです。
このように、デフォルト設定を理解しておくことは、コンピューターやソフトウェアの効率的な利用に役立ちます
(引用終り)

さて、>>931の3)にも書いたが、下記尾畑研pdfに例示がある
自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替え
n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2,n (13.1) を考える
このとき、下記尾畑研のpdfのように整列順序を定義できる
これは、一つの例だが、少し解説すると 前半(n+1,n+2,n+3 ・・・)と、後半(n-1,n-2,n)に分けて
それぞれに 普通の整列順序を与え、前半と後半の比較では 前半の元 ≦ 後半の元 と定義するってことだ

つまり、もっと言えば 並び”n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2”に 合うように 整列順序の定義を与えるってこと！
即ち、整列可能定理でできた整列順序列に対し、後付けで 整列順序の定義を与えるのです。お分かりかな？ｗ ；ｐ）
これが、今の場合の”デフォルト”の意味です
わかり合えている者同士では、当たり前すぎて 省略可能なのだ ；ｐ）

非標準の例として
(参考)>>920より再録
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章 整列集合
　13.1 整列集合
　例13.3 自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替えると
　n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
これをもとにNに全順序≦が定義されるつまり x,y∈Nに対して
　略 整列集合である
　x≦y ←→ (i) x≦n,y≦n,x≦y または(ii) x≧n+1,y≧n+1, x≦y または (iii)x≧n+1,y≦n, x≦y
と定義するのであるこのとき全順序集合（N,≦)は整列集合になる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973

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