ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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900: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 09:09:28.36 ID:2b7XvZNh

つづき

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義 自然数の公理
　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
　0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・  として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/900

911: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 12:29:49.33 ID:2b7XvZNh

>>904-910
ID:SnhQCod3 は、御大か
巡回 ご苦労さまです

ID:mZ2ntjQvは、
おサル(>>9-10)さんか？ｗ ；ｐ）

さて
>>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列している
>が整列順序による整列を意味してるなら間違いに決まってんじゃん

ここで、まず 下記のWell-ordering theorem（整列定理、第一階述語論理では整列定理は選択公理と等価 ）
を百回音読してね

その上で、人は ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という可算無限の整列の1列を作ることができる
そして、ここで 整列定理の力を借りると
”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}∈・・・”
と読み替えることが可能なんだよ

分りますか？？
もし、あなた ID:mZ2ntjQvが 数学オチコボレのおサルさんならば、
このロジックの理解は、難しいだろうなｗｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
（google訳）
整列定理（ツェルメロの定理とも呼ばれる）は、すべての集合は整列可能であることを述べています。集合Xが厳密な全順序で整列しているとは、 Xのすべての空でない部分集合がその順序付けのもとで最小の元を持つ場合を指します。整列定理はツォルンの補題とともに、選択公理（AC とも呼ばれる。選択公理 § 同値も参照）と同値な最も重要な数学的命題です。 [ 1 ] [ 2 ]エルンスト・ツェルメロは、整列定理を証明するための「異論の余地のない論理原理」として選択公理を導入しました。[ 3 ]整列定理から、すべての集合は超限帰納法の影響を受けやすいと結論付けることができ、これは数学者によって強力な手法と考えられています。[ 3 ]この定理の有名な帰結の一つはバナッハ＝タルスキーのパラドックスである。
歴史
ゲオルク・カントールは、整列定理を「思考の基本原理」とみなした。[ 4 ]
However, it is considered difficult or even impossible to visualize a well-ordering of
R; such a visualization would have to incorporate the axiom of choice.[5]
1904年、ギュラ・ケーニヒはそのような整列は存在し得ないことを証明したと主張した。
数週間後、フェリックス・ハウスドルフは証明に間違いを見つけた。[ 6 ]
しかし、第一階述語論理では整列定理は選択公理と等価であることが判明した。
つまり、選択公理が含まれたツェルメロ-フレンケル公理は整列定理を証明するのに十分であり、逆に、選択公理はないが整列定理が含まれたツェルメロ-フレンケル公理は選択公理を証明するのに十分である。
（同じことはゾルンの補題にも当てはまる。）
しかし、第二階述語論理では、整列定理は選択公理よりも厳密に強い。
つまり、整列定理から選択公理を演繹できるが、選択公理から整列定理を演繹することはできない。[ 7 ]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/911

919: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 14:00:21.60 ID:2b7XvZNh

>>913-916
ふっふ、ほっほ
やはり、おサルだったかｗ ；ｐ）

さて
(引用開始)
>その上で、人は ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という可算無限の整列の1列を作ることができる
あなたの言う「整列」の定義は？
>そして、ここで 整列定理の力を借りると
>”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}∈・・・”
>と読み替えることが可能なんだよ
完全な嘘っぱちです。あなたは整列定理をまったく分かってません。というかあなた整列定理のステートメントを一度も読んだこと無いでしょ。読んでたらこんな馬鹿な事言わないはずなので。
>分りますか？？
間違いということははっきり分かります。
>このロジックの理解は、難しいだろうなｗｗ ；ｐ）
はい、あなたのデタラメロジックはまったく理解不能です。
(引用終り)

1）「整列」の定義などは、私がいつもお世話になっている 下記の尾畑研究室 東北大
　”第13章 整列集合”pdf
　を全文に渡り、百回音読してねｗ ；ｐ）
2）その上で、下記 ”13.3 整列可能定理”の
　”与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
　直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
　有限集合に対してなら何ら問題なくできる
　しかし無限集合に対してはどうだろうか
　カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)”
　を、熟読願います
3）いま、{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・
　について、関係”∈”を利用して
　”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”
　と整列させたのです
　その整列は、整列可能定理を利用したとしましょうね
　ロジックとして、隣り合う 『{{{}}}∈{{{{}}}}』を使いました
　その上で、再度 整列可能定理を利用して 下記の尾畑研 順序集合(X,≦)を借用して
　∈→≦の読み替えをします
　”{}≦{{}}≦{{{}}}≦{{{{}}}}≦・・・”＊）
　とできるのです（上記の≦は、冒頭の＜と書いても意味は同じ）
注＊）：{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・には、等しいものがないので、≦も＜も同じ意味です
以上

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/919

924: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/01(水) 14:21:04.73 ID:2b7XvZNh

>>920 補足
>2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている

ここ
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
2022年度 解析学入門 (宮城教育大学2年生向き 水曜日5講時)
教科書・参考書
[4] 赤攝也：集合論入門, ちくま学芸文庫, 2014.
初版は培風館から1957年に出版され, 私も学生の頃に読んだ。集合の演算, 濃度, 順序数が主要なテーマであり, 理論展開は厳密かつ明晰であって, しかも記述は極めて丁寧。全くの初学者を本格的な(古典的)集合論に導く名著。 ただし, 記号や言葉の使い方が今よく流通しているものと異なっているものがあるから注意せよ。
(引用終り)
のことでしょうね

(参考) （注：赤 攝也先生は、かなり有名でしたね。いろんなところで、お名前を目にしました）
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%A4%E6%94%9D%E4%B9%9F
赤 攝也（赤 摂也、せき せつや、1926年5月7日[1] - 2019年11月4日[2]）は、日本の数学者。

経歴
1926年、石川県金沢市に生まれた。東京大学理学部数学科で学び、1949年に卒業して同大学大学院（旧制）に進んだ。1951年、大学院修士課程を修了。1961年、東京教育大学に学位論文を提出して理学博士号を取得。1962年、立教大学理学部数学科助教授となった。後に教授昇進。[3]。1984年に東京教育大学教授となった。1990年に東京教育大学を定年退官し、その後は放送大学教授、客員教授を務めた。

研究内容・業績
数学基礎論の研究で知られる。文筆活動も行い、筆名・愛知三郎。 立教大学での教え子に、早稲田大学理工学部教授を務めた廣瀬健がいる。

家族・親族
妻：赤冬子（1930-、立教大学英文科卒）は翻訳家。
妹：妹は、弥永昌吉ゼミ研究生だった関恒義一橋大学名誉教授の妻[4]。
義父：吉田洋一は数学者。哲学者の吉田夏彦は義兄にあたる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/924

931: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/01(水) 17:04:28.75 ID:2b7XvZNh

>>929
(引用開始)
>私の真意は、当然ながら 整列可能定理を前提として
>”列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列している”と解釈可能だということで
そんな解釈はできまへーーん
整列順序（当然整列定理も）が分かってないとしか言い様が無い
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）>>920 尾畑研究室 東北大 13.3 整列可能定理
『与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
　直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
　有限集合に対してなら何ら問題なくできる
　しかし無限集合に対してはどうだろうか
　カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
　実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
　定理13.15 (整列可能定理)
　任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる』
2）ここで、簡単に例示を補足する
　記号 「≤」を 下記の "順序集合"から借用する
　有限集合 ならば、{1，2，3}で
　標準は、1 ≤ 2 ≤ 3 だろう
　非標準 3 ≤ 2 ≤ 1 なども可能
　どちらも、整列集合である
3）可算無限集合では、非標準の例として 尾畑研 第13章 整列集合>>920 より
　13.1 整列集合
　例13.3 自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替えると
　n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
　略 整列集合である
　例13.4 自然数を偶数と奇数を分けて偶数同士奇数同士では通常の大小を考え偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係≼を導入するこの順序に関して自然数を書き並べれば
　1 3 5 ・・・ 2 4 6 ・・・ （13.2）
　略 こうして得られる全順序集合は整列集合になる
4）上記のように、可算無限集合においても 標準的な整列集合や、非標準の整列集合の例が考えられる
　その上で、可算無限集合 { {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ } を 整列集合とするために （整列可能定理を使って）
　{}≤{{}}≤{{{}}}≤{{{{}}}}≤・・・
　とできるのです
　この場合において、隣り合う集合が
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ となっているということです
以上

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
定義
まず、二項関係について以下の用語を定める。
ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/931

940: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/01(水) 19:20:13.38 ID:2b7XvZNh

>>937
ID:SnhQCod3 は、御大か
OTKゼミ ご指導ありがとうございます

>>936
>小出しに分けたら投稿できた。
>なんなの？

それよくある
5ｃｈ便所板の仕様でしょ！ｗ ；ｐ）

>>935
>言わずもがな
>>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ となっている
>から {}∈{{{}}} は言えない。{{{}}}の元は{{}}のみだから。いいかげんに∈の定義を学習しよう。

そこ、記号の濫用（乱用？ｗ or 記号の流用）と思ってくれ
”∈”に、引き摺られているよ。あなたはｗｗ
∈→∈' と書き換えると
{}∈' {{}}∈' {{{}}}∈' {{{{}}}}∈' ・・・ と書ける
ここで、∈' は 元の集合の記号から離れて 順序関係を表すんだよ
{}∈' {{{}}} が、言える
そう読み替えてくださいｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E6%BF%AB%E7%94%A8
記号の濫用（きごうのらんよう、英: abuse of notation, 仏: abus de notation）とは、形式的には正しくないが表記を簡単にしたり正しい直観を示唆するような表記を（間違いのもととなったり混乱を引き起こすようなことがなさそうなときに）用いることである。記号の濫用は記号の誤用とは異なる
関連する概念に用語の濫用（英: abuse of language, abuse of terminology, 仏: abus de langage）がある。これは記号ではなく用語が（形式的には）誤って使われることを指す。記号以外の濫用とほぼ同義である。例えば群 G の表現とは正確には G から GL(V) （ただし V はベクトル空間）への群準同型のことであるが、よく表現空間 V のことを「G の表現」という。用語の濫用は異なるが自然に同型な対象を同一視する際によく行われる。例えば、定数関数とその値や、直交座標系の入った 3 次元ユークリッド空間と R3 である

>>934
>∀n∈N.∀m∈N(n≧m⇒φ(n)≧φ(m))により（つまりφが順序同型となるように）(X,≧)を定義すれば、(X,≧)は整列順序。
>なんでもかんでも整列定理でーーーは大間違い。それ、全然分かってないから。

整列定理も使えますよ！ 両方使えるんだ
なにか 整列定理を使わないで済ませられるときでも、整列定理は常に適用可能！！
だって、整列定理の本質は、『公理』なのだからねｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/940

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